高斯消去hilbert

高斯消元法是一种求解线性方程组的常用方法，而 Hilbert 矩阵是用于测试求解线性方程组的方法是否稳定的标准矩阵。下面是使用高斯消元法求解 Hilbert 矩阵的示例代码：

import numpy as np

# 生成Hilbert矩阵
n = 5
H = np.zeros((n, n))
for i in range(n):
    for j in range(n):
        H[i, j] = 1 / (i + j + 1)

# 生成随机的解向量
x_true = np.random.rand(n)

# 计算等式右边的常数向量
b = H @ x_true

# 高斯消元求解线性方程组
for i in range(n):
    # 消元操作
    for j in range(i+1, n):
        m = H[j, i] / H[i, i]
        H[j, i:] = H[j, i:] - m * H[i, i:]
        b[j] = b[j] - m * b[i]

# 回代求解
x = np.zeros(n)
for i in range(n-1, -1, -1):
    x[i] = (b[i] - H[i, i+1:] @ x[i+1:]) / H[i, i]

# 计算误差
error = np.linalg.norm(x - x_true)
print('解向量：', x)
print('误差：', error)

注意，由于 Hilbert 矩阵的特殊性质，它的条件数非常大，因此使用浮点数进行计算时容易出现数值不稳定的情况。因此，上述代码可能会得到较大的误差，但可以通过增加矩阵的大小或使用精确计算方法来缓解这个问题。