1.假设有一序列二维数据点（（2,3),（5,4）,(9,6),(4,7),（8,1）,(7,2）,(10,9）,（16,12）},采用K-D树对上述数据构建空 间索引：1）如何构建K-D树；2）判断数据点(5,5)是否在已构建的K-D树中。请给出详细步骤与图解（50分）

1）如何构建K-D树

首先确定K值，K值指的是每个数据点所包含的特征的数量，在这个问题中，每个数据点都是由两个特征值组成的二维数据，因此K=2。

接下来，从数据集中选择一个数据点作为根节点，并根据该数据点的第一个特征值进行划分，将数据集分成两个子集。每个子集再分别选择一个数据点作为子树的根节点，并根据该数据点的第二个特征值进行划分，将子集分成两个新的子集，重复这个过程直到所有数据点都被分配到相应的节点。

具体步骤如下：

1. 选择一个数据点作为根节点，将该节点的第一个特征值作为划分依据，将数据集分成两个子集；
2. 对于每个子集，选择一个数据点作为子树的根节点，将该节点的第二个特征值作为划分依据，将子集分成两个新的子集；
3. 重复上一步，直到所有数据点都被分配到相应的节点。

以下是构建K-D树的步骤：

首先，选择第一个根节点（2,3），以其第一维特征值为划分依据，将数据集分为两个子集：S1 = {(5,4),(9,6),(8,1),(7,2),(10,9),(16,12)}和S2 = {(4,7)}。

然后，分别对S1和S2进行子树的构建。对于S1，选择（9,6）作为子树的根节点，以其第二维特征值为划分依据，将子集分为两个新的子集：S11 = {(5,4),(8,1),(7,2)}和S12 = {(10,9),(16,12)}。对于S2，由于只有一个数据点，不需要再次划分，因此（4,7）为该子树的根节点。

对于S11，选择（5,4）作为子树的根节点，以其第一维特征值为划分依据，将子集分为两个新的子集：S111 = {(8,1)}和S112 = {(7,2)}。对于S12，选择（10,9）作为子树的根节点，以其第一维特征值为划分依据，将子集分为两个新的子集：S121 = {}和S122 = {(16,12)}。

最后，K-D树的结构如下图所示：


2）判断数据点(5,5)是否在已构建的K-D树中

对于给定的数据点(5,5)，可以按照如下步骤在K-D树中进行查找：

1. 从根节点开始，判断当前节点所划分的维度是第几维；
2. 如果待查找数据点的该维特征值小于当前节点的该维特征值，就移动到当前节点的左子树，否则就移动到当前节点的右子树；
3. 重复以上步骤，直到找到待查找数据点所在的节点或者搜索到一个叶子节点（此时可以认为待查找数据点不在K-D树中）。

具体步骤如下：

1.从根节点开始，首先判断待查找数据点(5,5)的第一维特征值5是否小于当前节点（2,3）的第一维特征值2。由于5>2，因此需要移动到该节点的右子树。

2.由于该节点（2,3）的右子树为叶子节点，无法再次划分，因此可以认为待查找数据点(5,5)不在该节点的右子树内。

3.回到节点（2,3）并移动到其左子树，即节点（5,4）。判断待查找数据点(5,5)的第二维特征值5是否小于节点（5,4）的第二维特征值4。由于5>4，因此需要移动到该节点的右子树。

4.由于该节点（9,6）的右子树是叶子节点，无法再次划分，因此可以认为待查找数据点(5,5)不在该节点的右子树内。

5.回到节点（9,6）并移动到其左子树，即节点（5,4）。对于节点（5,4），待查找数据点(5,5)和该节点的特征值都相等，因此可以认为待查找的数据点在K-D树中。

因此，数据点(5,5)在已构建的K-D树中。

以下是对应的K-D树查找过程示意图：