伯努利数和欧拉数 系数表
时间: 2024-05-24 17:11:55 浏览: 9
由于伯努利数和欧拉数之间存在复杂的关系,因此很难给出一个完整的系数表。以下是一些重要的伯努利数和欧拉数的值:
伯努利数:
B0 = 1
B1 = -1/2
B2 = 1/6
B3 = 0
B4 = -1/30
B5 = 0
B6 = 1/42
B7 = 0
B8 = -1/30
B9 = 0
B10 = 5/66
B11 = 0
B12 = -691/2730
B13 = 0
B14 = 7/6
B15 = 0
B16 = -3617/510
B17 = 0
B18 = 43867/798
B19 = 0
B20 = -174611/330
欧拉数:
E0 = 1
E1 = 0
E2 = -1
E3 = 0
E4 = 5
E5 = 0
E6 = -61
E7 = 0
E8 = 1385
E9 = 0
E10 = -50521
E11 = 0
E12 = 2702765
E13 = 0
E14 = -199360981
E15 = 0
E16 = 19391512145
E17 = 0
E18 = -2404879675441
E19 = 0
E20 = 370371188237525
需要注意的是,伯努利数和欧拉数的定义和计算方法有多种,因此不同的文献中可能会给出不同的系数表。
相关问题
BZOJ2627 伯努利数
这是一道经典的组合数学题目,需要一些基本的组合数学知识。
首先,我们先来了解一下伯努利数。伯努利数是组合数学中的一类数列,它们的递推式如下:
$$B_0 = 1, B_n = -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n-1}{{n+1}\choose{i}}B_i$$
其中 $n\geq 1$,${n\choose k}$ 表示组合数,$B_n$ 表示第 $n$ 个伯努利数。
接下来,我们考虑如何计算 $\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i$。根据二项式定理,我们有:
$$(1+x)^{n+1} = \sum_{i=0}^{n+1}{n+1\choose{i}}x^i$$
对上式两边求导可以得到:
$$(n+1)(1+x)^n = \sum_{i=1}^{n+1}{n+1\choose{i}}ix^{i-1}$$
将 $x=1$ 带入上式,得到:
$$(n+1)\cdot 2^n = \sum_{i=1}^{n+1}{n+1\choose{i}}i$$
注意到 $B_0=1$,我们可以对伯努利数的递推式进行变形:
\begin{aligned} B_n &= -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n-1}{{n+1}\choose{i}}B_i \\ &= -\frac{1}{n+1}\left({{n+1}\choose{0}}B_0 + \sum_{i=1}^{n}{{n+1}\choose{i}}B_i\right) \\ &= -\frac{1}{n+1}\left({{n+1}\choose{0}}B_0 + \sum_{i=1}^{n}{n+1\choose{i}}B_i\right) + \frac{1}{n+1}{{n+1}\choose{0}}B_0 \\ &= -\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i + \frac{1}{n+1} \end{aligned}
因此,我们有:
$$\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i = (n+1)(B_{n+1}-1)$$
这个式子可以通过数学归纳法进行证明。
现在,我们已经得到了 $\sum_{i=0}^{n}{n+1\choose{i}}B_i$ 的计算公式,只需要预处理出前 $n$ 个伯努利数就可以在 $O(n)$ 的时间复杂度内解决这个问题了。
欧拉-伯努利梁newmark
欧拉-伯努利梁(Newmark)是一种常用的结构力学模型,用于分析梁的振动性能和动力响应。它是以康特瑞夫维奇·莱昂哈德·欧拉和丹尼尔·伯努利的名字命名的。
欧拉-伯努利梁假设梁轴线在振动过程中保持直线且未发生弯曲。这种假设适用于局部弯曲和充分细长的梁结构。基于这个假设,欧拉-伯努利梁可通过欧拉梁方程来描述,即M=E·I·y''''(x)。
Newmark是指Newmark方法,是一种常用的数值求解动力系统响应的方法。在欧拉-伯努利梁的振动分析中,可以使用Newmark方法来模拟梁的运动过程和响应。
Newmark方法是一种线性时间积分法,根据结构的初始条件和外部激励条件,求解出每个时间步长上结构的位移、速度和加速度。该方法的关键在于选取合适的时间步长和积分参数。常见的Newmark方法包括线性加速度法和线性速度法。
在欧拉-伯努利梁的振动分析中,欧拉梁方程可以通过步长为Δt的时间离散化转化为一个常微分方程组。然后,可以使用Newmark方法求解该常微分方程组,得到梁的每个时间步长上的位移、速度和加速度。
通过欧拉-伯努利梁结构的力学模型和Newmark方法的数值求解,可以对梁的振动性能和动力响应进行分析。这对于工程领域中设计和优化梁结构的安全性和稳定性非常重要。
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