奇异值分解的计算复杂度o(n^3)
时间: 2023-06-24 08:08:13 浏览: 807
是的,奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)的计算复杂度的确是O(n^3)。具体来说,对于一个m行n列的矩阵,它的SVD分解需要进行的计算量大约为2mn^2 - (2/3)n^3,因此它的时间复杂度为O(mn^2)或O(n^3),取决于m和n中哪个更大。由于SVD的计算复杂度比较高,因此在实际应用中,需要考虑到计算效率和精度之间的平衡,并且通常会采用一些优化算法来加速SVD的计算。
相关问题
奇异值分解的时间复杂度
奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)的时间复杂度取决于矩阵的大小。假设矩阵的大小为 $m\times n$,其中 $m\geq n$,则 SVD 的时间复杂度为 $O(mn^2)$,其中 $O$ 表示大 O 符号,表示复杂度的数量级。
具体来说,SVD 的时间复杂度主要取决于矩阵的对角化过程。对于一个 $m\times n$ 的矩阵,SVD 的对角化过程包括以下步骤:
1. 计算矩阵的奇异值分解;
2. 对奇异值进行排序;
3. 对奇异值进行截断,得到一个新的奇异值矩阵;
4. 计算新的奇异值矩阵的伪逆。
其中,奇异值分解的时间复杂度为 $O(mn^2)$,排序的时间复杂度为 $O(n\log n)$,截断的时间复杂度为 $O(n^2)$,伪逆的计算时间复杂度为 $O(n^2)$。因此,SVD 的总时间复杂度为 $O(mn^2)$。
需要注意的是,对于 $m<n$ 的矩阵,SVD 的时间复杂度为 $O(m^2n)$。这是因为 SVD 的对角化过程需要对矩阵进行转置,使得转置后的矩阵大小为 $n\times m$,然后再进行对角化。转置操作的时间复杂度为 $O(mn)$,因此总时间复杂度为 $O(m^2n)$。
高阶奇异值分解(HOSVD)时间复杂度
### 回答1:
高阶奇异值分解(HOSVD)的时间复杂度是比较高的,主要取决于数据张量的大小和维度数。具体地说,假设数据张量的大小为 $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_d$,则 HOSVD 的时间复杂度为 $O(dn^3)$,其中 $n = \max(n_1, n_2, \cdots, n_d)$。
这是因为 HOSVD 需要对每个模态进行奇异值分解,而每个奇异值分解的时间复杂度为 $O(n^3)$,因此总的时间复杂度就是 $O(dn^3)$。需要注意的是,当数据张量的维度数 $d$ 较大时,HOSVD 的时间复杂度会变得非常高,因此在实际应用中需要谨慎使用。
### 回答2:
高阶奇异值分解(HOSVD)是一种对高阶张量进行分解的方法。在HOSVD中,将一个高阶张量分解为一系列低阶张量的乘积。HOSVD的时间复杂度取决于张量的阶数和每个阶数的维度。
假设一个高阶张量的阶数为n,每个阶数的维度分别为d1, d2, ..., dn,则HOSVD的时间复杂度为O(d1^3 * d2^3 * ... * dn^3)。
HOSVD的时间复杂度主要来自奇异值分解的计算。对于二维矩阵,奇异值分解的时间复杂度为O(m * n * r),其中m和n分别是矩阵的行数和列数,r是矩阵的秩。在HOSVD中,对于每个阶数的维度,需要对相应的矩阵进行奇异值分解,因此时间复杂度为O(d^3 * r),其中d是每个阶数的维度。
在高阶张量中,有多个阶数,因此需要对每个阶数的维度进行奇异值分解,所以时间复杂度需要乘以每个阶数的维度的立方。因此,HOSVD的时间复杂度为O(d1^3 * d2^3 * ... * dn^3)。
需要注意的是,HOSVD的时间复杂度是一个指数级的增长,所以对于高阶张量,计算的复杂度将会非常高。在实际应用中,为了减少计算量,可以通过降维或者截断奇异值的方式进行近似计算。
### 回答3:
高阶奇异值分解(HOSVD)是一种用于多维张量分解的方法,它可以将一个高维张量分解为一组低秩张量的乘积形式。在进行HOSVD时,其时间复杂度可以分为两个部分。
首先是奇异值分解(SVD)的计算,该步骤通常需要对各个模态的矩阵进行SVD分解,从而得到每个模态的奇异值矩阵。假设原始张量的维度为n1 * n2 * .... * nr,那么在每个模态上进行SVD的时间复杂度为O(ni^3),其中ni表示第i个模态的维度。所以对于n个模态的张量,总的SVD时间复杂度为O(n * max(ni^3))。
其次是通过各个模态的奇异值矩阵来重构张量的时间复杂度,即计算每个模态上的低秩矩阵乘积。假设每个模态上的低秩矩阵维度为k,那么在每个模态上进行低秩矩阵乘积的时间复杂度为O(ni * k^2)。因此,总的重构时间复杂度为O(n * max(ni * k^2))。
综上所述,高阶奇异值分解(HOSVD)的时间复杂度为O(n * max(ni^3)) + O(n * max(ni * k^2))。其中n表示模态数量,ni表示每个模态的维度,k表示低秩矩阵的秩。