P1036 [NOIP2002 普及组] 选数 题解

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$，选出其中的若干个数，使得它们的和恰好为 $k$，求有多少种选法。

解题思路

这道题可以使用动态规划来解决。设 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中选出若干个数恰好为 $j$ 的选法数目，则有状态转移方程：

$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-a[i]]$

其中 $dp[i-1][j]$ 表示不选第 $i$ 个数的选法数目，$dp[i-1][j-a[i]]$ 表示选第 $i$ 个数的选法数目，因为选第 $i$ 个数后，剩下的 $i-1$ 个数中选出若干个数恰好为 $j-a[i]$。

最终答案为 $dp[n][k]$。

代码实现

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P1036 [NOIP2002 普及组] 选数 深搜题解

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$，选出其中的若干个数，使得它们的和恰好为 $k$，求有多少种选法。

解题思路

这道题也可以使用深度优先搜索（DFS）来解决。我们可以枚举每个数 $a_i$ 是否被选中，然后递归地搜索下一个数 $a_{i+1}$。如果已经选出的数的和为 $k$，则说明找到了一种选法。

具体地，我们可以定义一个函数 $dfs(i, sum)$，其中 $i$ 表示当前考虑到的数的下标，$sum$ 表示已经选出的数的和。函数的返回值表示在后面的数中选出若干个数恰好为 $k-sum$ 的选法数目。

如果 $sum=k$，则说明找到了一种选法，返回 $1$。

如果 $sum>k$ 或者 $i>n$，则说明选出的数的和已经超过了 $k$，或者已经考虑完了所有的数，因此返回 $0$。

否则，对于第 $i$ 个数 $a_i$，有两种情况：选或者不选。如果选第 $i$ 个数，则 $sum$ 加上 $a_i$，继续递归搜索下一个数 $a_{i+1}$；如果不选第 $i$ 个数，则直接递归搜索下一个数 $a_{i+1}$。最终的答案为选或者不选第 $1$ 个数的选法数目之和。

代码实现

p1036 [noip2002 普及组] 选数

题目描述：给定一个长度为n的序列a，你需要选出其中的若干个数，使得这些数的和恰好等于m。请问有多少种选法？

这是一道基础的动态规划题目，可以使用0/1背包问题的思路来解决。

定义状态f[i][j]为考虑前i个数，总和为j的方案数。则有状态转移方程：

f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-a[i]]

其中f[i-1][j]表示不选第i个数，f[i-1][j-a[i]]表示选第i个数。

最终的答案即为f[n][m]。时间复杂度为O(nm)。

需要注意的是，如果题目要求选出的数的个数必须为k个，则需要在状态定义和状态转移方程中加入这个限制条件，具体可见相关题解。