P1036 [NOIP2002 普及组] 选数 题解
时间: 2023-07-12 22:57:21 浏览: 151
题目描述
给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$,选出其中的若干个数,使得它们的和恰好为 $k$,求有多少种选法。
解题思路
这道题可以使用动态规划来解决。设 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个数中选出若干个数恰好为 $j$ 的选法数目,则有状态转移方程:
$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-a[i]]$
其中 $dp[i-1][j]$ 表示不选第 $i$ 个数的选法数目,$dp[i-1][j-a[i]]$ 表示选第 $i$ 个数的选法数目,因为选第 $i$ 个数后,剩下的 $i-1$ 个数中选出若干个数恰好为 $j-a[i]$。
最终答案为 $dp[n][k]$。
代码实现
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P1036 [NOIP2002 普及组] 选数 深搜题解
题目描述
给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$,选出其中的若干个数,使得它们的和恰好为 $k$,求有多少种选法。
解题思路
这道题也可以使用深度优先搜索(DFS)来解决。我们可以枚举每个数 $a_i$ 是否被选中,然后递归地搜索下一个数 $a_{i+1}$。如果已经选出的数的和为 $k$,则说明找到了一种选法。
具体地,我们可以定义一个函数 $dfs(i, sum)$,其中 $i$ 表示当前考虑到的数的下标,$sum$ 表示已经选出的数的和。函数的返回值表示在后面的数中选出若干个数恰好为 $k-sum$ 的选法数目。
如果 $sum=k$,则说明找到了一种选法,返回 $1$。
如果 $sum>k$ 或者 $i>n$,则说明选出的数的和已经超过了 $k$,或者已经考虑完了所有的数,因此返回 $0$。
否则,对于第 $i$ 个数 $a_i$,有两种情况:选或者不选。如果选第 $i$ 个数,则 $sum$ 加上 $a_i$,继续递归搜索下一个数 $a_{i+1}$;如果不选第 $i$ 个数,则直接递归搜索下一个数 $a_{i+1}$。最终的答案为选或者不选第 $1$ 个数的选法数目之和。
代码实现
p1036 [noip2002 普及组] 选数
题目描述:给定一个长度为n的序列a,你需要选出其中的若干个数,使得这些数的和恰好等于m。请问有多少种选法?
这是一道基础的动态规划题目,可以使用0/1背包问题的思路来解决。
定义状态f[i][j]为考虑前i个数,总和为j的方案数。则有状态转移方程:
f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-a[i]]
其中f[i-1][j]表示不选第i个数,f[i-1][j-a[i]]表示选第i个数。
最终的答案即为f[n][m]。时间复杂度为O(nm)。
需要注意的是,如果题目要求选出的数的个数必须为k个,则需要在状态定义和状态转移方程中加入这个限制条件,具体可见相关题解。