基于双边Jacobi对矩阵进行奇异值分解的步骤和Matlab算法实现

双边Jacobi算法是一种常用的矩阵奇异值分解方法，它的基本思路是通过不断迭代来将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即$A=U\Sigma V^T$，其中$U,V$为正交矩阵，$\Sigma$为对角矩阵。下面给出双边Jacobi算法的步骤和Matlab实现。

1. 初始化

将$A$赋值给$B$和$C$，并将$U$和$V$初始化为单位矩阵。

2. 计算旋转角度

对于$B$和$C$中的每一对元素$(i,j)$，计算旋转角度$\theta$：

$\theta=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2b_{ij}}{c_{jj}-c_{ii}}\right)$

其中$b_{ij}$为$B$矩阵中的元素，$c_{ii}$和$c_{jj}$为$C$矩阵中的对角元素。

3. 构造旋转矩阵

对于每一对元素$(i,j)$，构造旋转矩阵$G$：

$G=I_{n\times n}$

$G_{ii}=G_{jj}=\cos\theta$

$G_{ij}=-G_{ji}=\sin\theta$

其中$n$为$A$的维度，$I_{n\times n}$为$n$阶单位矩阵。

4. 更新矩阵

将$B$和$C$分别左右乘以旋转矩阵$G$：

$B=GBG^T$

$C=GCG^T$

5. 更新正交矩阵

将$U$和$V$分别左右乘以旋转矩阵$G$：

$U=UG$

$V=VG$

6. 判断收敛性

计算$B$和$C$的非对角元素之和的平方：

$\Delta=\sum_{i\neq j}b_{ij}^2+\sum_{i\neq j}c_{ij}^2$

如果$\Delta$小于某个阈值，算法结束，否则返回第2步。

Matlab实现：

function [U,S,V] = bidiag_svd(A)
% Bidiagonalization
[m,n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);
B = A;
C = A'*A;
tol = 1e-10;
while true
    % Compute rotation angle
    theta = zeros(m-1,1);
    for i = 1:m-1
        theta(i) = 0.5*atan2(2*B(i,i+1),C(i,i)-C(i+1,i+1));
    end
    % Construct rotation matrix
    G = eye(m);
    for i = 1:m-1
        G(i,i) = cos(theta(i));
        G(i+1,i+1) = cos(theta(i));
        G(i,i+1) = sin(theta(i));
        G(i+1,i) = -sin(theta(i));
    end
    % Update matrices
    B = G*B*G';
    C = G*C*G';
    U = U*G;
    V = V*G;
    % Check convergence
    delta = sum(sum(B(1:m-1,2:n).^2)) + sum(sum(C(1:n-1,2:n).^2));
    if delta < tol
        break;
    end
end
% Compute singular values and sort in descending order
S = zeros(m,n);
for i = 1:min(m,n)
    S(i,i) = sqrt(B(i,i));
end
[~,idx] = sort(diag(S),'descend');
S = S(idx,idx);
U = U(:,idx);
V = V(:,idx);
end

这里的实现中，我们通过对角化$C=A^TA$来计算旋转角度。对于大规模矩阵，可以使用分块技术来加速计算。