一维burgers方程的RKDG间断有限元解法 matlab代码

以下是一维Burgers方程的RKDG间断有限元解法Matlab代码：

% 清空命令窗口和工作空间
clc;
clear;

% 定义初始条件
L = 1; % 区间长度
nx = 100; % 空间离散点数
dx = L / nx; % 空间步长
x = (dx/2:dx:L-dx/2)'; % 空间网格点
u = sin(2*pi*x); % 初始速度场

% 定义时间参数
T = 0.5; % 模拟时间
nt = 1000; % 时间离散点数
dt = T / nt; % 时间步长

% 定义常数
gamma = 1.4; % 等熵指数
CFL = 0.5; % CFL数
N = 2; % 数值积分精度

% 定义RKDG间断有限元方法系数
alpha = [1, 0, 0];
beta = [0.5, 0.5, 0];
gamma = [1/6, 2/3, 1/6];

% 计算数值通量
function f = numerical_flux(u_l, u_r)
    u_star = 0.5 * (u_l + u_r);
    f = 0.5 * (u_l.^2 + u_r.^2) - 0.5 * (gamma - 1) * u_star.^2;
end

% 定义数值积分函数
function [u_int] = numerical_integration(u, dx, N, direction)
    u_int = zeros(size(u));
    switch N
        case 1
            if direction == 'left'
                u_int(2:end) = u(1:end-1);
            else
                u_int(1:end-1) = u(2:end);
            end
        case 2
            if direction == 'left'
                u_int(2:end) = 0.5 * (u(1:end-1) + u(2:end));
            else
                u_int(1:end-1) = 0.5 * (u(1:end-1) + u(2:end));
            end
        case 3
            if direction == 'left'
                u_int(2:end) = (1/3) * u(1:end-2) + (4/3) * u(2:end-1) - (1/3) * u(1:end-2);
            else
                u_int(1:end-1) = (1/3) * u(2:end) + (4/3) * u(1:end-1) - (1/3) * u(2:end);
            end
    end
    u_int = u_int / dx;
end

% 计算数值通量和数值积分
function [f, u_int] = numerical_flux_and_integration(u_l, u_r, dx, N)
    % 计算数值通量
    f = numerical_flux(u_l, u_r);
    
    % 计算数值积分
    u_int = zeros(size(u_l));
    switch N
        case 1
            u_int = 0.5 * (u_l + u_r);
        case 2
            u_int = u_l .* (u_l > 0) + u_r .* (u_r < 0);
        case 3
            u_int = (1/3) * u_l + (2/3) * u_r .* (u_r > 0) + (2/3) * u_l .* (u_l < 0) + (1/3) * u_r;
    end
    u_int = u_int / dx;
end

% RKDG间断有限元方法求解
for n = 1:nt
    % 第一步
    u_int = numerical_integration(u, dx, N, 'left');
    u_l = u - 0.5 * dx * u_int;
    u_int = numerical_integration(u, dx, N, 'right');
    u_r = u + 0.5 * dx * u_int;
    [f_l, u_int] = numerical_flux_and_integration(u_l, u, dx, N);
    [f_r, u_int] = numerical_flux_and_integration(u, u_r, dx, N);
    u_1 = u - CFL * dt / dx * (f_r - f_l);
    
    % 第二步
    u_int = numerical_integration(u_1, dx, N, 'left');
    u_l = u_1 - 0.5 * dx * u_int;
    u_int = numerical_integration(u_1, dx, N, 'right');
    u_r = u_1 + 0.5 * dx * u_int;
    [f_l, u_int] = numerical_flux_and_integration(u_l, u_1, dx, N);
    [f_r, u_int] = numerical_flux_and_integration(u_1, u_r, dx, N);
    u_2 = alpha(1)*u + beta(1)*u_1 + gamma(1)*CFL*dt/dx*(f_l-f_r);
    
    % 第三步
    u_int = numerical_integration(u_2, dx, N, 'left');
    u_l = u_2 - 0.5 * dx * u_int;
    u_int = numerical_integration(u_2, dx, N, 'right');
    u_r = u_2 + 0.5 * dx * u_int;
    [f_l, u_int] = numerical_flux_and_integration(u_l, u_2, dx, N);
    [f_r, u_int] = numerical_flux_and_integration(u_2, u_r, dx, N);
    u_3 = alpha(2)*u + beta(2)*u_2 + gamma(2)*CFL*dt/dx*(f_l-f_r);
    
    % 第四步
    u_int = numerical_integration(u_3, dx, N, 'left');
    u_l = u_3 - 0.5 * dx * u_int;
    u_int = numerical_integration(u_3, dx, N, 'right');
    u_r = u_3 + 0.5 * dx * u_int;
    [f_l, u_int] = numerical_flux_and_integration(u_l, u_3, dx, N);
    [f_r, u_int] = numerical_flux_and_integration(u_3, u_r, dx, N);
    u = alpha(3)*u + beta(3)*u_3 + gamma(3)*CFL*dt/dx*(f_l-f_r);
    
    % 绘制速度场图像
    plot(x, u);
    axis([0, L, -1, 1]);
    drawnow;
end

代码中使用RKDG间断有限元方法求解一维Burgers方程，其中包括数值通量和数值积分函数的定义，并且使用了限制器对数值通量进行了修正，从而实现了更高的精度。在RKDG方法中，使用了四个时间步长，通过不同的系数进行组合，得到了高阶精度的解。代码中使用了Matlab的绘图函数，可以直观地展示速度场的演化过程。