(15分) 阐述支持向量机的原理，要求依据其思想、数学表达、主优化问题和对偶问题等进行展开，何为支持向量，需要满足什么条件？

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种二分类模型，其基本思想是在特征空间中构造最优超平面，将不同类别的实例分开。支持向量机的主要优点是可以有效地处理高维数据，具有较强的泛化能力和鲁棒性。

支持向量机的数学表达可以表示为：

$$f(x)=\text{sign}(\omega^Tx+b)$$

其中，$x$为样本特征向量，$\omega$为超平面法向量，$b$为超平面截距，$\text{sign}$函数为符号函数，当$\omega^Tx+b>0$时，输出为1，否则输出为-1。

支持向量机的主要优化问题可以表示为：

$$\begin{aligned} \min_{\omega,b} \quad & \frac12\|\omega\|^2+C\sum_{i=1}^m \xi_i\\ \text{s.t.} \quad & y_i(\omega^Tx_i+b)\geq 1-\xi_i, i=1,2,\cdots,m\\ & \xi_i\geq 0, i=1,2,\cdots,m \end{aligned}$$

其中，$\|\omega\|$为超平面法向量的模长，$C$为正则化参数，$\xi_i$为样本$x_i$到超平面的函数间隔与几何间隔之差，即$\xi_i=\max(0,1-y_i(\omega^Tx_i+b))$，$y_i$为样本$x_i$的类别标签，取值为+1或-1，$m$为训练样本数。

上述优化问题可以通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题：

$$\begin{aligned} \max_{\alpha} \quad & \sum_{i=1}^m\alpha_i-\frac12\sum_{i,j=1}^m y_iy_j\alpha_i\alpha_j\langle x_i,x_j\rangle\\ \text{s.t.} \quad & 0\leq\alpha_i\leq C, i=1,2,\cdots,m\\ & \sum_{i=1}^m\alpha_iy_i=0 \end{aligned}$$

其中，$\alpha_i$为拉格朗日乘子，$\langle x_i,x_j\rangle$表示样本$x_i$和$x_j$的内积。

在求解对偶问题后，可以通过下面的公式求解超平面：

$$\omega=\sum_{i=1}^m\alpha_iy_ix_i$$

支持向量机中的支持向量是指与超平面距离最近的那些样本点，它们满足$\alpha_i>0$。在训练过程中，只有支持向量对超平面的位置有影响，其他训练样本点的位置对超平面没有影响。因此，支持向量是支持向量机模型的关键部分。需要满足的条件是，支持向量到超平面的距离等于它们的函数间隔与几何间隔之差，即$\xi_i=0$。这意味着支持向量要么在超平面上，要么在超平面两侧的间隔边界上。