请解释以下推导：Relaxed BEDD: max : αRp + βBp + γLp (20) s.t. x j uhjk(1 − r k i ) ≤ h (21) max{(h − hjk) ∗ X u∈U x j u , 0} ≤ |U| ∗ max{|h − hjk|} (22) 0 ≤ r j i ≤ 1, ∀di ∈ D, ∀sj ∈ S (23) 0 ≤ x j u ≤ 1, ∀u ∈ U, ∀sj ∈ S (24) In the relaxed BEDD problem, we can see that Eq. (21) couples binary variables r j i and x j u while other constraints only involve one variable each. Thus, we introduce a Lagrange multiplier µ(µ ≥ 0) to Eq. (21). Then, the optimization objective of the relaxed BEDD problem can be reformulated as the Lagrange dual function below: ϕ(µ) = max αRp + βBp + γLp + µ(h − x j uhjk(1 − r k i )) = max α X di∈D X sj∈S R(r j i ) + β X u∈U X di∈D X sj∈S B(r j i , xj u ) + γ X di∈D X sj∈S L(r j i ) + X di∈D X sj∈S µ(h − x j uhjk(1 − r k i )) (25) As a result, the dual problem of Eq. (25) is: min ϕ(µ) (26)

首先，Relaxed BEDD是一个最大化问题，目标函数为αRp + βBp + γLp，其中Rp、Bp和Lp是关于rji和xju的函数。约束条件包括两个方面：一方面是式子（21），它将二进制变量rji和xju耦合在一起；另一方面是式子（22）、（23）和（24），它们只涉及一个变量。

为了解决式子（21）中的耦合问题，我们引入一个拉格朗日乘子μ（μ≥0），并将其加入式子（20）的目标函数中。这样，我们可以通过拉格朗日对偶性将原问题（最大化αRp + βBp + γLp）转化为一个对偶问题（最小化拉格朗日对偶函数ϕ(μ)）。

具体而言，我们将μ(h - xjuhjk(1- rki))加入式子（20）的目标函数中，得到：

max αRp + βBp + γLp + μ(h - xjuhjk(1- rki))

然后，我们将其中的rji和xju视为自变量，将其他参数视为常数，分别对rji和xju求偏导，并令其等于0，得到：

∂ϕ(μ)/∂rji = α∂Rp/∂rji + β∂Bp/∂rji + γ∂Lp/∂rji + μ(1 - xjuhjk) = 0

∂ϕ(μ)/∂xju = -α∂Rp/∂xju - β∂Bp/∂xju - γ∂Lp/∂xju + μrkihjk = 0

通过解上述方程组，我们就可以得到rji和xju的最优解，以及对应的拉格朗日乘子μ。进而，可以计算出拉格朗日对偶函数ϕ(μ)，并通过最小化它来求解原问题的最优解。因此，式子（25）和（26）就是Relaxed BEDD问题的拉格朗日对偶形式。