请设计全通系统，分析系数、零极点、幅频、相频等特性

### 回答1：
全通系统是指系统在所有频率下都具有相同的零极点，因此其特性与频率无关。下面是一个基本的全通系统的设计及其特性分析：

设计：

- 系统传递函数：$H(z) = \frac{(z-q)}{(z-p)}$
- 系统结构：一阶IIR滤波器

特性分析：

1. 零极点分析

系统的传递函数中有一个零点 $z=q$ 和一个极点 $z=p$。当 $z=q$ 时，系统的增益为1，即信号不会被放大或削弱。当 $z=p$ 时，系统的增益会受到影响，但由于该系统是全通系统，因此其相位响应仍然不会发生变化。

2. 频率响应分析

系统的频率响应可以通过幅频响应和相频响应来描述。由于该系统是全通系统，因此其幅频响应和相频响应在所有频率下都是相同的。

- 幅频响应：$|H(e^{j\omega})| = \frac{|e^{j\omega} - q|}{|e^{j\omega} - p|}$
- 相频响应：$\angle H(e^{j\omega}) = \arctan(\frac{Im(e^{j\omega}-q)}{Re(e^{j\omega}-q)}) - \arctan(\frac{Im(e^{j\omega}-p)}{Re(e^{j\omega}-p)})$

3. 系数分析

为了实现该全通系统，我们需要确定其零点和极点。其中，零点的位置可以任意选择，但极点的位置必须在单位圆内或外。由于本系统是一阶IIR滤波器，因此可以通过调整 $q$ 和 $p$ 的位置来控制其截止频率。

- 当 $|p| > |q|$ 时，系统为高通滤波器；
- 当 $|p| < |q|$ 时，系统为低通滤波器；
- 当 $|p| = |q|$ 时，系统为全通滤波器。

综上所述，该全通系统具有相同的零极点，因此其特性在所有频率下都相同。通过控制其零点和极点的位置，我们可以实现不同截止频率的滤波器。

### 回答2：
全通系统是指在信号通过系统后，系统的频率响应对于所有频率都是全通的，即不改变信号的频率。设计一个全通系统可以通过以下步骤进行：

1. 确定目标：首先要确定所需的全通系统的特性和设计目标，例如希望系统具有最大通带增益、最小阻带衰减、特定的相位特性等。

2. 系统模型：根据设计目标，选择适当的系统模型，例如连续时间系统可以用传递函数表示，离散时间系统可以用差分方程表示。

3. 系统参数：确定系统的系数值，包括零极点的位置和增益。这些参数直接影响系统的频率响应特性。

4. 零极点分析：计算系统的零点和极点，并分析他们的位置对系统的特性产生的影响。例如，零点的位置决定了系统的波特图。

5. 幅频特性：根据系统模型和参数，计算系统的幅频响应。幅频特性描述了系统对不同频率信号的增益响应。

6. 相频特性：根据系统模型和参数，计算系统的相频响应。相频特性描述了系统对不同频率信号的相位响应。

在设计全通系统时，需要考虑的因素包括目标要求、系统模型选择、系统参数的选取、零极点位置的分析、幅频特性和相频特性的计算等。通过合理的设计，可以实现所需的全通系统特性，并满足设计要求。

### 回答3：
全通系统是一种信号处理系统，它的特点是能够使输入信号的频谱通过系统时不发生形状、相对幅度和相位的改变。设计全通系统时需要考虑系数、零极点、幅频和相频等特性。

首先，全通系统的系数是设计中的关键因素。系数的选择会直接影响系统的频率响应和稳定性。常见的系数设计方法有有限冲激响应（FIR）和无限冲激响应（IIR）两种。其中，FIR模型的全通系统具有稳定性好、零极点之间不存在共轭关系等特点；而IIR模型则可以提供更高的频率选择性。

其次，零极点分析是全通系统设计中的关键步骤。零点是使系统传递函数为零的点，极点则是使系统传递函数为无穷大的点。通过对全通系统的零极点位置进行调整，可以控制系统的频率响应特性。例如，在FIR全通系统中，调整零点位置可以增强系统的频谱展宽；而在IIR全通系统中，控制极点位置则可以影响系统的频带增益和相位响应。

幅频特性是描述全通系统输出信号幅度与输入信号幅度之间关系的特性。通过幅频特性的分析，可以了解系统在不同频率下的增益变化情况。在设计全通系统时，可以根据需求选择合适的幅频特性来满足系统的要求。

相频特性则是描述全通系统输出信号相位与输入信号相位之间关系的特性。相频特性的分析可以帮助确定系统在不同频率下的相位变化情况。合理设计全通系统的相频特性可以保持信号的相对相位关系，避免信号失真或相位变形。

综上所述，设计全通系统需要综合考虑系数、零极点、幅频和相频等特性。通过合理选择和调整这些特性，可以实现对输入信号频谱的保持，从而满足特定的信号处理需求。