Matlab举例塔吊的动力学建模以及LQR最优控制

塔吊的动力学建模可以采用多种方法，以下是一种简单的方法：

假设塔吊的臂长为l，质量为m，转动惯量为J，臂的转动角度为θ，转动角速度为ω，臂的转动加速度为α，臂的线速度为v，臂的线加速度为a，负载的重量为F，臂的转动力矩为T。

根据牛顿第二定律和角动量定理，可以得到如下动力学方程：

m·a = F - T*cos(θ) (1)
J·α = -T*sin(θ) (2)

其中，T*cos(θ)是臂的重力分量，T*sin(θ)是臂的转动力矩分量。

根据几何关系，可以得到以下公式：

v = l·ω (3)
a = l·α (4)

将公式(3)和(4)代入公式(1)和(2)，可以得到以下方程组：

m·l·α = F - T*cos(θ) (5)
J·α = -T*sin(θ) (6)
l·α = a (7)
l·ω = v (8)

为了完成控制任务，需要设计一个控制器来控制塔吊的运动。这里采用LQR最优控制器来进行控制。LQR最优控制器是一种线性二次型控制器，可以通过最小化系统的性能指标来得到最优的控制器。

LQR最优控制器的设计分为两个步骤：

1. 设计状态空间模型

将公式(5)-(8)表示为状态空间模型：

x = [θ;ω;a;α] (9)
u = T (10)

状态方程：

x' = Ax + Bu + Ew (11)

其中，w是系统的外部扰动，E是扰动的影响矩阵，A是系统矩阵，B是输入矩阵。根据公式(5)-(8)，可以得到如下状态空间模型：

x' = [0 1 0 0;0 0 m*g/(m*l^2+J) 0;0 0 0 1;0 0 -g/l 0]x + [0;-1/(m*l^2+J);0;1/l]u + [0;0;0;1]w

其中，g是重力加速度。

2. 设计LQR最优控制器

根据系统的状态空间模型，可以使用LQR最优控制器来设计最优的控制器。LQR最优控制器的设计需要指定一个性能指标，通常采用二次型指标，形式为：

J = ∫[x'Qx + u'Ru]dt

其中，Q和R是正定矩阵，可以通过调整它们的值来调整控制器的性能。根据LQR最优控制器的设计方法，可以得到如下控制器：

u = -Kx

其中，K是LQR最优控制器的增益矩阵，可以通过求解Riccati方程得到。

将控制器代入状态空间模型，可以得到如下闭环系统：

x' = (A - BK)x + Ew

其中，B和K是控制器的输入矩阵和增益矩阵。

通过对闭环系统进行稳定性分析，可以得到LQR最优控制器的参数，从而实现对塔吊的最优控制。