写一个完整的基于Kantorovich距离的后推削减算法
时间: 2024-05-24 17:13:14 浏览: 22
1. 引言
后推削减算法是一种求解最大流问题的常用算法,其核心思想是不断减少残留网络中的容量,直到找到最大流。该算法的效率取决于削减时所采用的准则,常见的准则有Ford-Fulkerson算法中的增广路准则和Dinic算法中的层次图准则等。本文将介绍一种基于Kantorovich距离的后推削减算法,该算法采用Kantorovich距离作为削减准则,能够更快速地找到最大流。
2. Kantorovich距离
Kantorovich距离是一种衡量两个概率分布之间相似度的度量方法。设$P_1$和$P_2$为定义在同一空间$X$上的两个概率分布,$c(x,y)$为$x$和$y$之间的距离,则Kantorovich距离$W_c(P_1,P_2)$定义为:
$$
W_c(P_1,P_2)=\inf_{\gamma\in\Pi(P_1,P_2)}\int_{X\times X}c(x,y)\mathrm{d}\gamma(x,y)
$$
其中$\Pi(P_1,P_2)$表示$P_1$和$P_2$之间所有可能的联合分布集合。
3. 后推削减算法
后推削减算法的主要流程如下:
1. 初始化残留网络$G=(V,E)$和汇点$t$的距离$d_t=0$,其他点的距离$d_i=\infty$;
2. 从源点$s$开始沿着最短路推进,直到无法继续推进为止;
3. 从汇点$t$开始反向推进,沿着$d_i=d_j+c_{ij}$的边削减容量,直到无法继续推进为止;
4. 如果$d_t=\infty$,则算法结束,否则返回第2步。
其中第3步是后推削减的核心步骤,常见的削减准则是$d_i=d_j+1$或$d_i=d_j$。本文提出一种基于Kantorovich距离的削减准则,即$d_i=d_j+W_c(P_i,P_j)$,其中$P_i$和$P_j$分别表示$i$和$j$点的残留流量分布。
4. 基于Kantorovich距离的削减准则
为了计算$W_c(P_i,P_j)$,我们需要先确定距离函数$c(x,y)$和联合分布$\gamma(x,y)$。对于$c(x,y)$,我们可以取$i$和$j$之间的边的容量$c_{ij}$作为距离,即$c(i,j)=c_{ij}$。对于$\gamma(x,y)$,我们需要根据残留流量分布来确定。
假设$i$点的残留流量为$p_i$,$j$点的残留流量为$p_j$,$P_i$和$P_j$分别表示$i$和$j$点的残留流量分布。我们可以将$p_i$和$p_j$分别表示为以下形式:
$$
p_i=\sum_{k\in V}P_i(k)c_{ik},\quad p_j=\sum_{k\in V}P_j(k)c_{jk}
$$
即$p_i$和$p_j$分别表示$i$和$j$点的所有出边和入边的残留流量之和。然后我们可以定义联合分布$\gamma(x,y)$为:
$$
\gamma(i,j)=\frac{\min(P_i(i)c_{ii},p_j)}{p_i+p_j-c_{ij}},\quad \gamma(k,l)=0,\forall(k,l)\neq(i,j)
$$
其中$\gamma(i,j)$表示$i$点的流量分配给$j$点的概率,$\gamma(k,l)$表示其他点之间的流量分配概率。注意到$\gamma(i,j)$的定义中用到了$p_i$和$p_j$的信息,这是因为$\gamma(i,j)$的分子要求不超过$i$点的出边和$j$点的入边的最小值,否则$i$点或$j$点的残留流量将不足以支撑这部分流量。
有了联合分布$\gamma(x,y)$之后,我们就可以计算Kantorovich距离$W_c(P_i,P_j)$了:
$$
W_c(P_i,P_j)=\inf_{\gamma\in\Pi(P_i,P_j)}\int_{V\times V}c(x,y)\mathrm{d}\gamma(x,y)=c_{ij}\gamma(i,j)
$$
5. 算法优化
基于Kantorovich距离的后推削减算法需要计算每个点对之间的Kantorovich距离,时间复杂度为$O(V^2)$,效率较低。为了优化算法,我们可以采用以下策略:
1. 只计算$d_i$小于当前最短距离$d_{min}$的点对之间的Kantorovich距离;
2. 采用堆优化算法来维护$d_i$值的更新。
这样可以将时间复杂度降到$O(E\log V)$,从而提高算法效率。
6. 总结
本文介绍了一种基于Kantorovich距离的后推削减算法,该算法采用Kantorovich距离作为削减准则,能够更快速地找到最大流。具体来说,该算法通过计算残留流量分布之间的Kantorovich距离来确定削减容量的大小,从而实现了更加精细的削减策略。此外,我们还对算法进行了优化,使其具有更高的效率。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![7z](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083312.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)