请证明数据分布$D_t$的调整过程满足: \begin{align*} \mathcal{D}_{t+1}(\x) = \frac{e^{-y_i \sum_{s=1}^t \alpha_s h_s(\x)}}{m \prod_{s=1}^t Z_s}, \quad \forall t \in [T]. \end{align*}

我们可以通过数学归纳法证明这个结论。

首先，当 $t=1$ 时，
\begin{align*}
\mathcal{D}_{2}(\x) &= \frac{1}{mZ_1}\exp\left\{-\alpha_1y_ih_1(\x)\right\} \\
&= \frac{1}{m}\cdot \frac{1}{Z_2}\exp\left\{-\alpha_1y_ih_1(\x)\right\} \\
&= \frac{e^{-y_i \sum_{s=1}^1 \alpha_s h_s(\x)}}{m \prod_{s=1}^1 Z_s}.
\end{align*}
因此，基础情况成立。

假设当 $t=k$ 时结论成立，即
$$
\mathcal{D}_{k+1}(\x) = \frac{e^{-y_i \sum_{s=1}^k \alpha_s h_s(\x)}}{m \prod_{s=1}^k Z_s}.
$$
则当 $t=k+1$ 时，
\begin{align*}
\mathcal{D}_{k+2}(\x) &= \frac{1}{mZ_{k+1}}\exp\left\{-\alpha_{k+1}y_ih_{k+1}(\x)\right\} \prod_{s=1}^{k} Z_s \\
&= \frac{1}{m}\cdot \frac{1}{Z_{k+2}}\exp\left\{-\alpha_{k+1}y_ih_{k+1}(\x)\right\} \prod_{s=1}^{k} Z_s \\
&= \frac{1}{m}\cdot \frac{1}{\prod_{s=1}^{k+1} Z_s}\exp\left\{-\alpha_{k+1}y_ih_{k+1}(\x)\right\} \prod_{s=1}^{k} Z_s \\
&= \frac{e^{-y_i \sum_{s=1}^{k+1} \alpha_s h_s(\x)}}{m \prod_{s=1}^{k+1} Z_s}.
\end{align*}
因此，当 $t=k+1$ 时结论也成立。

由数学归纳法可知，结论对于所有 $t\in [T]$ 均成立。因此，数据分布$D_t$的调整过程满足该式子。