（2）二次规划应用案例的求解 1、基本要求 通过一个投资组合优化问题的实例求解，培养学生解决实际二次规划问题的初步能力；熟悉线性规划的建模过程；掌握Matlab优化工具箱中线性规划函数的调用。 2、上机主要内容 求解从一点(0,0,0)到超平面的最短距离， 其中，，。 通过建模构造二次规划问题，求解以上问题的最优解和最优值。

假设我们要在三个投资项目中分配资金，使得总投资额不超过500万元，并最大化总收益。已知三个项目的投资额、预计收益率和风险系数如下表所示：

| 项目 | 投资额（万元） | 预计收益率 | 风险系数 |
|------|---------------|-----------|---------|
| A | 200 | 0.12 | 0.05 |
| B | 150 | 0.10 | 0.03 |
| C | 100 | 0.15 | 0.07 |

我们可以将每个项目的收益表示为收益率乘以投资额，即：

收益A = 0.12 × 200 = 24万元
收益B = 0.10 × 150 = 15万元
收益C = 0.15 × 100 = 15万元

因此，我们可以将该问题建模为以下二次规划问题：

目标函数：

$$\max_{x_1,x_2,x_3} 0.12x_1 + 0.10x_2 + 0.15x_3$$

约束条件：

$$x_1 + x_2 + x_3 \leq 500$$

$$0.05x_1^2 + 0.03x_2^2 + 0.07x_3^2 \leq k$$

其中k为超平面的距离平方，需要求解。由于约束条件为二次不等式，我们需要将其转化为标准形式，即：

$$Ax^2 \leq b$$

其中A为半正定矩阵，b为非负实数。因此，我们可以将约束条件转化为：

$$\begin{bmatrix}
0.05 & 0 & 0 \\
0 & 0.03 & 0 \\
0 & 0 & 0.07
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix}
k \\
0 \\
0
\end{bmatrix}$$

最终的二次规划问题为：

目标函数：

$$\max_{x_1,x_2,x_3} 0.12x_1 + 0.10x_2 + 0.15x_3$$

约束条件：

$$\begin{bmatrix}
0.05 & 0 & 0 \\
0 & 0.03 & 0 \\
0 & 0 & 0.07
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} \leq \begin{bmatrix}
k \\
0 \\
0
\end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} \leq 500$$

使用Matlab中的quadprog函数可以求解该二次规划问题，代码如下：

H = [0.12 0 0; 0 0.10 0; 0 0 0.15];
f = [0 0 0];
A = [0.05 0 0; 0 0.03 0; 0 0 0.07];
b = [k; 0; 0];
Aeq = [1 1 1];
beq = 500;
lb = [0 0 0];
[x, fval] = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, lb);

其中，H为目标函数的二次系数矩阵，f为目标函数的一次系数向量，A和b为约束条件的系数矩阵和常数向量，Aeq和beq为等式约束条件的系数矩阵和常数向量，lb为变量取值下限。quadprog函数的输出包括最优解x和最优值fval。

由于我们需要求解超平面的距离平方k，因此需要进行迭代计算。具体来说，我们可以先初始化k为1，然后求解该二次规划问题，如果约束条件被满足，则将k乘以2继续求解，直到约束条件不被满足为止。最终得到的k即为超平面的距离平方。完整的代码如下：

H = [0.12 0 0; 0 0.10 0; 0 0 0.15];
f = [0 0 0];
Aeq = [1 1 1];
beq = 500;
lb = [0 0 0];
k = 1;
while true
    A = [0.05 0 0; 0 0.03 0; 0 0 0.07];
    b = [k; 0; 0];
    [x, fval] = quadprog(H, f, A, b, Aeq, beq, lb);
    if norm(A * x - b) < 1e-6
        break;
    end
    k = k * 2;
end
distance = sqrt(k);

其中，norm函数表示向量的模长，1e-6表示小于该值时认为约束条件被满足。最终得到的distance即为从原点到超平面的最短距离。