建立投资组合中实际应用中的二次规划模型

二次规划（Quadratic Programming, QP）是一种优化问题，其目标函数是一个二次函数，约束条件是线性的。在投资组合中，我们可以通过二次规划模型来优化投资组合的收益和风险之间的平衡。

具体来说，我们可以将投资组合中每个资产的收益率和风险率表示为一个向量，然后根据资产的权重构建一个投资组合向量。设 $r$ 为投资组合的期望收益率向量，$Q$ 为投资组合的协方差矩阵，$w$ 为投资组合的权重向量，$b$ 为投资组合的风险约束条件，则可以将投资组合的优化问题表示为如下的二次规划模型：

$$
\begin{aligned}
\min_{w} & \quad \frac{1}{2}w^T Q w - r^T w \\
\text{s.t.} & \quad w^T \mathbf{1} = 1 \\
& \quad w^T \sigma \geq b \\
\end{aligned}
$$

其中，$\mathbf{1}$ 是一个全为 $1$ 的向量，$\sigma$ 是一个资产的风险率向量。

这个模型的目标是最小化投资组合的方差，同时满足一定的风险约束条件。通过求解这个二次规划模型，我们可以得到一个最优的投资组合权重向量，从而达到最大化收益和控制风险的目的。

相关问题

用具体数值建立投资组合实际应用中的二次规划模型

假设我们有 $n$ 种资产可以进行投资，每个资产的期望收益率和风险率如下：

| 资产 | 期望收益率 | 风险率 |
| :--: | :--------: | :----: |
| A | 0.05 | 0.10 |
| B | 0.10 | 0.15 |
| C | 0.08 | 0.13 |
| D | 0.12 | 0.18 |
| E | 0.07 | 0.12 |

假设投资组合的风险约束条件为 $b=0.15$，即投资组合的风险率不能超过 $0.15$。

我们可以将期望收益率和风险率分别表示为向量 $r$ 和 $\sigma$，有：

$$
r = \begin{bmatrix}0.05 \\ 0.10 \\ 0.08 \\ 0.12 \\ 0.07\end{bmatrix}, \quad \sigma = \begin{bmatrix}0.10 \\ 0.15 \\ 0.13 \\ 0.18 \\ 0.12\end{bmatrix}
$$

同时，我们可以计算出资产间的协方差矩阵 $Q$，有：

$$
Q = \begin{bmatrix}0.01 & 0.005 & 0.007 & 0.008 & 0.004 \\ 0.005 & 0.0225 & 0.0105 & 0.018 & 0.0075 \\ 0.007 & 0.0105 & 0.0169 & 0.0126 & 0.0096 \\ 0.008 & 0.018 & 0.0126 & 0.0324 & 0.0108 \\ 0.004 & 0.0075 & 0.0096 & 0.0108 & 0.0144\end{bmatrix}
$$

其中，$Q_{i,j}$ 表示资产 $i$ 和资产 $j$ 的协方差。

根据上述信息，我们可以建立投资组合的二次规划模型，有：

$$
\begin{aligned}
\min_{w} & \quad \frac{1}{2}w^T Q w - r^T w \\
\text{s.t.} & \quad w^T \mathbf{1} = 1 \\
& \quad w^T \sigma \geq 0.15 \\
\end{aligned}
$$

其中，$w$ 是一个 $n$ 维权重向量，表示投资组合中每种资产的占比。我们的目标是最小化投资组合的方差，同时满足投资组合的风险约束条件。

用具体数值建立投资组合实际应用中的二次规划模型，具体数值包括收益期望值、年度收益的方差估测及协方差

假设我们有 $n=4$ 种资产可以进行投资，每个资产的期望收益率、年度收益的方差估测和与其他资产的协方差如下：

| 资产 | 期望收益率 | 年度收益的方差估测 | 与其他资产的协方差 |
| :--: | :--------: | :----------------: | :----------------: |
| A | 0.10 | 0.04 | 0.02 |
| B | 0.18 | 0.08 | 0.04 |
| C | 0.15 | 0.06 | 0.03 |
| D | 0.12 | 0.03 | 0.01 |

假设投资组合的风险约束条件为 $b=0.10$，即投资组合的年度收益的方差估测不能超过 $0.10$。

我们可以将期望收益率、年度收益的方差估测和协方差分别表示为向量 $r$、$v$ 和矩阵 $Q$，有：

$$
r = \begin{bmatrix}0.10 \\ 0.18 \\ 0.15 \\ 0.12\end{bmatrix}, \quad v = \begin{bmatrix}0.04 \\ 0.08 \\ 0.06 \\ 0.03\end{bmatrix}, \quad Q = \begin{bmatrix}0.02 & 0.04 & 0.03 & 0.01 \\ 0.04 & 0.08 & 0.06 & 0.02 \\ 0.03 & 0.06 & 0.09 & 0.03 \\ 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.01\end{bmatrix}
$$

同时，我们可以将投资组合的权重表示为向量 $w$，有：

$$
w = \begin{bmatrix}w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4\end{bmatrix}
$$

根据上述信息，我们可以建立投资组合的二次规划模型，有：

$$
\begin{aligned}
\min_{w} & \quad \frac{1}{2}w^T Q w - r^T w \\
\text{s.t.} & \quad w^T \mathbf{1} = 1 \\
& \quad w^T v w \leq 0.10 \\
\end{aligned}
$$

其中，$w$ 是一个 $4$ 维权重向量，表示投资组合中每种资产的占比。我们的目标是最小化投资组合的方差，同时满足投资组合的风险约束条件。