建立投资组合中实际应用中的二次规划模型

二次规划（Quadratic Programming, QP）是一种优化问题，其目标函数是一个二次函数，约束条件是线性的。在投资组合中，我们可以通过二次规划模型来优化投资组合的收益和风险之间的平衡。

具体来说，我们可以将投资组合中每个资产的收益率和风险率表示为一个向量，然后根据资产的权重构建一个投资组合向量。设 $r$ 为投资组合的期望收益率向量，$Q$ 为投资组合的协方差矩阵，$w$ 为投资组合的权重向量，$b$ 为投资组合的风险约束条件，则可以将投资组合的优化问题表示为如下的二次规划模型：

$$
\begin{aligned}
\min_{w} & \quad \frac{1}{2}w^T Q w - r^T w \\
\text{s.t.} & \quad w^T \mathbf{1} = 1 \\
& \quad w^T \sigma \geq b \\
\end{aligned}
$$

其中，$\mathbf{1}$ 是一个全为 $1$ 的向量，$\sigma$ 是一个资产的风险率向量。

这个模型的目标是最小化投资组合的方差，同时满足一定的风险约束条件。通过求解这个二次规划模型，我们可以得到一个最优的投资组合权重向量，从而达到最大化收益和控制风险的目的。

相关问题

用具体数值建立投资组合实际应用中的二次规划模型

假设我们有 $n$ 种资产可以进行投资，每个资产的期望收益率和风险率如下：

| 资产 | 期望收益率 | 风险率 |
| :--: | :--------: | :----: |
| A | 0.05 | 0.10 |
| B | 0.10 | 0.15 |
| C | 0.08 | 0.13 |
| D | 0.12 | 0.18 |
| E | 0.07 | 0.12 |

假设投资组合的风险约束条件为 $b=0.15$，即投资组合的风险率不能超过 $0.15$。

我们可以将期望收益率和风险率分别表示为向量 $r$ 和 $\sigma$，有：

$$
r = \begin{bmatrix}0.05 \\ 0.10 \\ 0.08 \\ 0.12 \\ 0.07\end{bmatrix}, \quad \sigma = \begin{bmatrix}0.10 \\ 0.15 \\ 0.13 \\ 0.18 \\ 0.12\end{bmatrix}
$$

同时，我们可以计算出资产间的协方差矩阵 $Q$，有：

$$
Q = \begin{bmatrix}0.01 & 0.005 & 0.007 & 0.008 & 0.004 \\ 0.005 & 0.0225 & 0.0105 & 0.018 & 0.0075 \\ 0.007 & 0.0105 & 0.0169 & 0.0126 & 0.0096 \\ 0.008 & 0.018 & 0.0126 & 0.0324 & 0.0108 \\ 0.004 & 0.0075 & 0.0096 & 0.0108 & 0.0144\end{bmatrix}
$$

其中，$Q_{i,j}$ 表示资产 $i$ 和资产 $j$ 的协方差。

根据上述信息，我们可以建立投资组合的二次规划模型，有：

$$
\begin{aligned}
\min_{w} & \quad \frac{1}{2}w^T Q w - r^T w \\
\text{s.t.} & \quad w^T \mathbf{1} = 1 \\
& \quad w^T \sigma \geq 0.15 \\
\end{aligned}
$$

其中，$w$ 是一个 $n$ 维权重向量，表示投资组合中每种资产的占比。我们的目标是最小化投资组合的方差，同时满足投资组合的风险约束条件。

二次规划在投资组合中应用的研究内容

二次规划在投资组合中的应用主要包括以下几个方面：

1.资产配置：利用二次规划模型优化资产配置，确定资产配置方案，使得投资组合风险最小化或预期收益最大化。

2.投资组合优化：通过建立二次规划模型，对投资组合进行优化，找到最优的投资组合组合方案，使得预期收益达到最大，风险最小。

3.资产定价：通过二次规划模型，对资产进行定价，找到最优的定价策略，使得资产收益最大化。

4.风险控制：利用二次规划模型，对投资组合中的风险进行分类和管理，建立风险控制模型，降低投资组合风险。

综上所述，二次规划在投资组合中的应用是非常广泛的，通过建立二次规划模型，可以有效地优化投资组合，降低风险，提高收益。