出一个典型的数学导数大题
时间: 2023-09-15 21:05:43 浏览: 53
### 回答1:
假设有函数$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x - 1$,求$f(x)$的导数。
解:
首先,我们需要知道$f(x)$的各项系数分别为$\frac{1}{3}, -2, 5$和$-1$。然后,我们可以使用导数的定义来求出$f(x)$在任意点$x$处的导数,也就是$f'(x)$:
$$
f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
将$f(x)$的表达式代入上式,得到:
$$
f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{3}(x+h)^3 - 2(x+h)^2 + 5(x+h) - 1 - \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 5x + 1}{h}
$$
化简后得到:
$$
f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{1}{3}h^2 + 2hx -h
$$
将$h$约去后得到:
$$
f'(x) = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 5
$$
因此,$f(x)$的导数$f'(x)$为$\frac{1}{3}x^2 - 4x + 5$。
### 回答2:
假设我们有一个函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1。现在我们要求这个函数的导数。
根据导数的定义,我们可以通过求函数在某一点的斜率来得到导数。在这个例子中,我们将对f(x)进行求导,从而得到它的导函数f'(x)。
首先,我们可以使用幂函数的导数规则来计算每一项的导数。根据该规则,常数项的导数为0,而对于幂函数x^n,导数为nx^(n-1)。
按照这个规则,我们可以计算f(x)中每一项的导数:派生项的系数与指数分别相乘,并降低指数。
f'(x) = 2 * 3x^(3-1) + 3 * 2x^(2-1) - 4 * 1x^(1-1) + 0
简化后得到:
f'(x) = 6x^2 + 6x - 4
因此,函数f(x)的导函数f'(x)为6x^2 + 6x - 4。
这个例子展示了用导数规则来求解一个典型的数学导数大题。通过使用幂函数的导数规则,我们能够得到一个函数的导函数。导数在数学中有广泛的应用,例如用于求曲线的切线和极值点。
### 回答3:
假设我们需要求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1的导数。
首先,我们需要确定导数的定义。导数表示函数在某一点上的变化率,可以通过计算函数的斜率来得到。具体而言,对于函数f(x),它的导数f’(x)表示函数在某一点x上的瞬时变化率。
为了求解f(x)的导数,我们可以使用导数的定义,即计算极限lim(h -> 0) [(f(x+h) - f(x))/h]。这个极限表示了当h趋近于0时,函数在x点附近的平均变化率。
开始计算:
f’(x) = lim(h -> 0) [(f(x+h) - f(x))/h]
= lim(h -> 0) [(2(x+h)^3 + 3(x+h)^2 - 4(x+h) + 1 - (2x^3 + 3x^2 - 4x + 1))/h]
= lim(h -> 0) [(2x^3 + 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 + 3x^2 + 6xh + 3h^2 - 4x - 4h + 1 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1)/h]
= lim(h -> 0) [(6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 + 6xh + 3h^2 - 4h)/h]
= lim(h -> 0) [6x^2 + 6xh + 2h^2 + 6x + 3h - 4]
= 6x^2 + 6x + 6
所以,函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1的导数为f’(x) = 6x^2 + 6x + 6。