频率响应函数怎么得到模态刚度或模态质量

频率响应函数是指系统在外力作用下，输出与输入之间的幅值比与相位差随着频率变化的函数。在模态分析中，可以通过频率响应函数来得到模态刚度或模态质量。

假设系统的振动模态为第 $i$ 模态，对应的固有频率为 $\omega_i$。在该模态下，系统的振动方程可以写成以下形式：

$$
M\ddot{u_i}+Ku_i = 0
$$

其中，$M$ 和 $K$ 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵。

假设在该模态下，系统的振动响应为 $u_i=A\sin(\omega_i t + \phi)$，其中 $A$ 和 $\phi$ 分别是振幅和相位差。将振动响应代入振动方程，可以得到：

$$
(-\omega_i^2 M + K)A\sin(\omega_i t + \phi) = 0
$$

因为 $A\neq 0$，所以可以得到：

$$
(-\omega_i^2 M + K)\sin(\omega_i t + \phi) = 0
$$

上式可以看作是通过系统的频率响应函数 $H_i(\omega) = (-\omega^2 M + K)^{-1}$，将输入信号 $\sin(\omega_i t + \phi)$ 转化为输出信号 $\sin(\omega_i t + \phi)$ 的过程。因此，可以得到以下关系式：

$$
H_i(\omega_i) = \frac{1}{-\omega_i^2 M + K}
$$

其中，$H_i(\omega_i)$ 是系统在第 $i$ 模态下的频率响应函数。

根据模态分析的理论，模态刚度和模态质量可以分别表示为：

$$
k_i = \frac{\omega_i^2}{A}
$$

$$
m_i = \frac{A}{\omega_i^2}
$$

因此，可以通过频率响应函数 $H_i(\omega_i)$ 和振动响应 $u_i=A\sin(\omega_i t + \phi)$，求解出模态刚度和模态质量。