有多种物品和多个背包都为规则长方体，且物品和背包都有长、宽、高、体积、重量、一定数量，现需求解以怎样的方案把物品放到背包里，可以使背包的体积利用率最大。装载时采用“密度递增”的定序规则和“占角策略”的定位规则，将密度最小的货物第一个放入原点所在的角落，之后再利用三空间分割规则对剩余空间划分，重复此过程，在货物摆放过程中，我们又设定了重量约束，背包重量平衡约束，体积约束、三维尺寸约束（即长、宽、高约束），直到剩余空间不再支持继续放入货物，从而得出空间利用率以及货物摆放情况。请用Python对上述问题建模求解，并输出最优装载方案，详细至哪个背包放了哪种物品多少个

本题可以使用整数线性规划（Integer Linear Programming, ILP）进行建模求解。具体步骤如下：

1. 定义决策变量。对于每个物品 $i$，我们定义二元变量 $x_{i,j,k}$ 表示将该物品放入第 $j$ 个背包中的第 $k$ 个位置（即一个规则长方体的一个角落）的数量。同时，我们定义二元变量 $y_j$ 表示是否选择第 $j$ 个背包，以及变量 $z$ 表示所有被选择的背包中体积利用率的最小值。

2. 定义目标函数。我们的目标是最大化背包的体积利用率。根据定义，体积利用率为 $\frac{\sum_{i,j,k} x_{i,j,k}V_i}{\sum_j y_jV_j}$，其中 $V_i$ 是物品 $i$ 的体积，$V_j$ 是背包 $j$ 的体积。我们想要最大化体积利用率，等价于最小化 $\frac{\sum_j y_jV_j}{\sum_{i,j,k} x_{i,j,k}V_i}$。因为 $\sum_j y_jV_j$ 是固定的，我们可以将目标函数定义为 $\min \frac{1}{\sum_{i,j,k} x_{i,j,k}V_i}$。

3. 定义约束条件。我们需要满足以下约束条件：

- 每个物品 $i$ 的数量不能超过其规定的数量。即 $\sum_{j,k} x_{i,j,k} \leq N_i$。
- 每个背包中物品的体积不能超过该背包的体积。即 $\sum_{i,k} x_{i,j,k}V_i \leq V_jy_j$。
- 每个背包中物品的重量不能超过该背包的重量。即 $\sum_i x_{i,j,k}W_i \leq W_jy_j$。
- 所有被选择的背包中的体积不能超过总体积的一定比例。即 $\sum_{j} y_jV_j \leq \alpha \sum_j V_j$，其中 $\alpha$ 是体积比例。
- 所有被选择的背包中的重量不能超过总重量的一定比例。即 $\sum_j y_jW_j \leq \beta \sum_j W_j$，其中 $\beta$ 是重量比例。
- 所有被选择的背包中的长、宽、高不能超过规定的长度、宽度、高度。即 $\max_j L_jy_j \leq L_{\max}$，$\max_j W_jy_j \leq W_{\max}$，$\max_j H_jy_j \leq H_{\max}$，其中 $L_j, W_j, H_j$ 分别是背包 $j$ 的长、宽、高，$L_{\max}, W_{\max}, H_{\max}$ 分别是规定的最大长度、宽度、高度。

4. 定义整数规划模型。我们可以使用 Python 中的 PuLP 库来定义整数规划模型。具体代码如下：

from pulp import *

# 定义决策变量
x = LpVariable.dicts('x', [(i, j, k) for i in items for j in bags for k in corners],
                     lowBound=0, upBound=max_num_items, cat=LpInteger)
y = LpVariable.dicts('y', bags, cat=LpBinary)
z = LpVariable('z', lowBound=0)

# 定义目标函数
prob = LpProblem('maximize_utilization', LpMinimize)
prob += 1/z

# 定义约束条件
for i in items:
    for j in bags:
        prob += lpSum([x[(i, j, k)] for k in corners]) <= num_items[i]
for j in bags:
    prob += lpSum([x[(i, j, k)] * volumes[i] for i in items for k in corners]) <= volumes[j] * y[j]
    prob += lpSum([x[(i, j, k)] * weights[i] for i in items for k in corners]) <= weights[j] * y[j]
for j in bags:
    prob += lpSum([x[(i, j, k)] * lengths[i] for i in items for k in corners]) <= lengths[j] * y[j]
    prob += lpSum([x[(i, j, k)] * widths[i] for i in items for k in corners]) <= widths[j] * y[j]
    prob += lpSum([x[(i, j, k)] * heights[i] for i in items for k in corners]) <= heights[j] * y[j]
prob += lpSum([volumes[j] * y[j] for j in bags]) <= alpha * total_volume
prob += lpSum([weights[j] * y[j] for j in bags]) <= beta * total_weight
prob += lpSum([lengths[j] * y[j] for j in bags]) <= max_length
prob += lpSum([widths[j] * y[j] for j in bags]) <= max_width
prob += lpSum([heights[j] * y[j] for j in bags]) <= max_height

# 求解模型
prob.solve()

5. 解析最优解。我们可以使用 PuLP 的内置方法来解析最优解。具体代码如下：

# 输出最优解
print('Optimal solution:')
print('z =', 1/value(prob.objective))
for j in bags:
    if y[j].value() > 0:
        print('Bag', j, ':')
        for i in items:
            for k in corners:
                if x[(i, j, k)].value() > 0:
                    print('\t', i, ':', int(x[(i, j, k)].value()))

注意，由于本题中使用了多个约束条件，因此可能需要进行一些调试以找到合适的约束系数。另外，为了避免求解时间过长，可以考虑使用 PuLP 中的求解器参数来调整求解速度。