最小二乘拟合

最二乘法是一种常用的拟合方法，用于拟合一组数据点到一个函数模型。最小二乘法的目标是找到一个函数模型的参数，使得拟合数据与原始数据之间的残差平方和最小。

设有 $n$ 个点 $(x_i, y_i)$，要拟合的模型为 $y=f(x;a,b)$，其中 $a$，$b$ 是模型参数。最小二乘法的目标是找到最优参数 $a$，$b$，使得残差平方和最小：

$$\min_{a,b}\sum_{i=1}^{n}(y_i-f(x_i;a,b))^2$$

其中，$f(x;a,b)$ 是模型函数。

最小二乘法的求解可以使用矩阵运算来简化计算。令 $Y$ 表示 $n$ 个数据点的向量，$X$ 表示 $n\times m$ 的设计矩阵，其中第 $i$ 行表示第 $i$ 个数据点的 $m$ 个特征，$a$ 表示 $m$ 个参数的向量，则最小二乘法的求解可以表示为：

$$a=(X^TX)^{-1}X^TY$$

其中，$X^T$ 表示 $X$ 的转置，$(X^TX)^{-1}$ 表示 $X^TX$ 的逆矩阵。可以使用 MATLAB 中的 `polyfit` 函数来进行最小二乘拟合，该函数可以拟合一个多项式模型，其中第一个参数是 x 坐标的向量，第二个参数是 y 坐标的向量，第三个参数是多项式次数。例如，对于以下数据点：

x = [0, 1, 2, 3, 4];
y = [1, 3, 5, 7, 9];

可以使用以下代码进行一次线性拟合：

p = polyfit(x, y, 1);

其中，`p` 是一个包含两个元素的向量，第一个元素是斜率，第二个元素是截距。