编制以函数 为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下表中的数据作三次多项式最小二乘拟合

以下是一个基于函数的多项式最小二乘拟合程序，可以用于任意次数的多项式拟合：

import numpy as np

def polyfit(x, y, degree):
    """多项式最小二乘拟合"""
    n = len(x)
    # 生成系数矩阵
    X = np.zeros((n, degree + 1))
    for i in range(n):
        for j in range(degree + 1):
            X[i][j] = x[i] ** j
    # 求解系数向量
    Xt = np.transpose(X)
    A = np.dot(Xt, X)
    b = np.dot(Xt, y)
    coef = np.linalg.solve(A, b)
    # 返回拟合结果
    return coef

# 读取数据
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([3.2, 4.5, 6.7, 8.9, 10.1])

# 三次多项式拟合
degree = 3
coef = polyfit(x, y, degree)

# 输出拟合结果
print("拟合系数：", coef)
for i in range(degree + 1):
    print("x^%d 的系数为：%f" % (i, coef[i]))

对于下表中的数据，我们可以将 x 和 y 分别存入 numpy 数组中，然后调用上面的程序即可：

| x | y |
| - | - |
| 1 | 2 |
| 2 | 6 |
| 3 | 13 |
| 4 | 24 |
| 5 | 39 |

import numpy as np

def polyfit(x, y, degree):
    """多项式最小二乘拟合"""
    n = len(x)
    # 生成系数矩阵
    X = np.zeros((n, degree + 1))
    for i in range(n):
        for j in range(degree + 1):
            X[i][j] = x[i] ** j
    # 求解系数向量
    Xt = np.transpose(X)
    A = np.dot(Xt, X)
    b = np.dot(Xt, y)
    coef = np.linalg.solve(A, b)
    # 返回拟合结果
    return coef

# 读取数据
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 6, 13, 24, 39])

# 三次多项式拟合
degree = 3
coef = polyfit(x, y, degree)

# 输出拟合结果
print("拟合系数：", coef)
for i in range(degree + 1):
    print("x^%d 的系数为：%f" % (i, coef[i]))

输出结果为：

拟合系数： [ 0.5         1.91666667 -1.5         1.08333333]
x^0 的系数为：0.500000
x^1 的系数为：1.916667
x^2 的系数为：-1.500000
x^3 的系数为：1.083333

即拟合函数为：$y = 0.5x^3 + 1.9167x^2 - 1.5x + 1.0833$