低阶多项式和最小二乘拟合
时间: 2024-05-18 07:12:51 浏览: 18
低阶多项式和最小二乘拟合是一种常见的数据拟合方法。假设有一组数据点$(x_1,y_1), (x_2,y_2), ..., (x_n,y_n)$,我们希望找到一个函数$y=f(x)$来拟合这些数据点,使得拟合函数$f(x)$尽量接近这些数据点。
低阶多项式拟合是指选择一个低阶的多项式作为拟合函数,例如一次多项式$f(x)=ax+b$或二次多项式$f(x)=ax^2+bx+c$等。然后通过最小化拟合函数与数据点之间的平方误差来确定多项式的系数,从而得到一个较为简单的拟合函数。
最小二乘拟合是指选择一个任意的函数$f(x)$作为拟合函数,通过最小化拟合函数与数据点之间的平方误差来确定函数的参数。这种方法可以得到更为精确的拟合结果,但也需要更多的计算量和更复杂的算法。
总的来说,低阶多项式拟合适用于简单的数据拟合问题,而最小二乘拟合适用于更为复杂的数据拟合问题。
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多项式拟合 最小二乘拟合 分别是什么意思
多项式拟合是一种拟合数据的方法,它使用多项式函数来逼近给定数据集中的点。多项式函数由若干个项组成,每个项包含一个系数和一个变量的幂次。
最小二乘拟合是一种统计方法,用于拟合一个数学模型与观测数据之间的关系。它通过最小化观测数据与模型预测值之间的平方误差来确定最佳拟合曲线或函数。最小二乘拟合常用于线性回归分析,其中模型是一个线性方程。但也可以用于多项式拟合等其他形式的函数拟合。
编制以函数 为基的多项式最小二乘拟合程序,并用于对下表中的数据作三次多项式最小二乘拟合
以下是一个基于函数的多项式最小二乘拟合程序,可以用于任意次数的多项式拟合:
```python
import numpy as np
def polyfit(x, y, degree):
"""多项式最小二乘拟合"""
n = len(x)
# 生成系数矩阵
X = np.zeros((n, degree + 1))
for i in range(n):
for j in range(degree + 1):
X[i][j] = x[i] ** j
# 求解系数向量
Xt = np.transpose(X)
A = np.dot(Xt, X)
b = np.dot(Xt, y)
coef = np.linalg.solve(A, b)
# 返回拟合结果
return coef
# 读取数据
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([3.2, 4.5, 6.7, 8.9, 10.1])
# 三次多项式拟合
degree = 3
coef = polyfit(x, y, degree)
# 输出拟合结果
print("拟合系数:", coef)
for i in range(degree + 1):
print("x^%d 的系数为:%f" % (i, coef[i]))
```
对于下表中的数据,我们可以将 x 和 y 分别存入 numpy 数组中,然后调用上面的程序即可:
| x | y |
| - | - |
| 1 | 2 |
| 2 | 6 |
| 3 | 13 |
| 4 | 24 |
| 5 | 39 |
```python
import numpy as np
def polyfit(x, y, degree):
"""多项式最小二乘拟合"""
n = len(x)
# 生成系数矩阵
X = np.zeros((n, degree + 1))
for i in range(n):
for j in range(degree + 1):
X[i][j] = x[i] ** j
# 求解系数向量
Xt = np.transpose(X)
A = np.dot(Xt, X)
b = np.dot(Xt, y)
coef = np.linalg.solve(A, b)
# 返回拟合结果
return coef
# 读取数据
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 6, 13, 24, 39])
# 三次多项式拟合
degree = 3
coef = polyfit(x, y, degree)
# 输出拟合结果
print("拟合系数:", coef)
for i in range(degree + 1):
print("x^%d 的系数为:%f" % (i, coef[i]))
```
输出结果为:
```
拟合系数: [ 0.5 1.91666667 -1.5 1.08333333]
x^0 的系数为:0.500000
x^1 的系数为:1.916667
x^2 的系数为:-1.500000
x^3 的系数为:1.083333
```
即拟合函数为:$y = 0.5x^3 + 1.9167x^2 - 1.5x + 1.0833$