简述旅行售货员问题的分支界限算法求解步骤,分析该算法的时间复杂度并给 出一个具体的算例。
时间: 2023-09-05 19:04:16 浏览: 141
### 回答1:
旅行售货员问题是指一个售货员要拜访一些城市,每个城市只能拜访一次,最后回到起点城市,使得总路程最短。这是一个NP问题,无法用多项式时间算法求解,因此需要用到分支界限算法。
分支界限算法的求解步骤如下:
1. 构造初始决策树。以起点城市为根节点,每个城市为一个子节点。
2. 对每个子节点,计算从起点城市到该节点的路径长度,并计算从该节点出发,经过未拜访的城市,回到起点城市的最小路径长度。
3. 按照最小路径长度排序,选择最小的子节点为当前节点。
4. 以当前节点为基础,对所有未拜访的城市进行扩展,形成新的子节点。
5. 对新的子节点,重复步骤2-4,直到所有节点都被扩展或者找到最优解。
该算法的时间复杂度为O(2^n * n^2),其中n为城市数量。由于需要遍历所有可能的情况,因此时间复杂度随着城市数量呈指数级增长。
以下是一个具体的算例:
假设有5个城市,起点城市为A,其他城市为B、C、D、E。它们之间的距离如下:
| | A | B | C | D | E |
|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|
| A | - | 3 | 2 | 4 | 2 |
| B | 3 | - | 5 | 6 | 5 |
| C | 2 | 5 | - | 4 | 6 |
| D | 4 | 6 | 4 | - | 2 |
| E | 2 | 5 | 6 | 2 | - |
首先,构造初始决策树:
```
A
/ | \
B C D
|
E
```
对每个子节点,计算从起点城市到该节点的路径长度,并计算从该节点出发,经过未拜访的城市,回到起点城市的最小路径长度:
```
A(0)
/ | \
B(3) C(2) D(4)
|
E(5)
```
按照最小路径长度排序,选择最小的子节点C为当前节点。以C为基础,对所有未拜访的城市进行扩展,形成新的子节点:
```
A(0)
/ | \
B(3) C(2)
/ \
D(6) E(8)
```
对新的子节点,重复上述步骤。选择最小路径长度为6的子节点D为当前节点,以D为基础进行扩展:
```
A(0)
/ | \
B(3) C(2)
/ \
D(6) E(8)
|
BDE(12)
```
继续重复上述步骤,选择最小路径长度为12的子节点BDE为当前节点,以BDE为基础进行扩展:
```
A(0)
/ | \
B(3) C(2)
/ \
D(6) E(8)
|
BDE(12)
|
CDE(16)
```
继续重复上述步骤,选择最小路径长度为16的子节点CDE为当前节点,以CDE为基础进行扩展:
```
A(0)
/ | \
B(3) C(2)
/ \
D(6) E(8)
|
BDE(12)
|
CDE(16)
|
BDEA(20)
```
继续重复上述步骤,选择最小路径长度为20的子节点BDEA为当前节点,以BDEA为基础进行扩展:
```
A(0)
/ | \
B(3) C(2)
/ \
D(6) E(8)
|
BDE(12)
|
CDE(16)
|
BDEA(20)
|
CDEB(23)
```
继续重复上述步骤,选择最小路径长度为23的子节点CDEB为当前节点,以CDEB为基础进行扩展:
```
A(0)
/ | \
B(3) C(2)
/ \
D(6) E(8)
|
BDE(12)
|
CDE(16)
|
BDEA(20)
|
CDEB(23)
|
BDEAC(27)
```
由于所有节点都被扩展,算法结束。最优路径为A-C-D-E-B-A,总长度为27。
### 回答2:
旅行售货员问题(Traveling Salesman Problem,TSP)是指给定一系列城市和每对城市之间的距离,求解经过每个城市一次并回到起始城市的最短路径。
分支界限算法是一种用于解决旅行售货员问题的有效算法。它的求解步骤如下:
1. 确定出发点:选择一个城市作为出发点。
2. 构建初始路径:从出发城市开始,按照某种方式选择下一个要访问的城市,直到遍历完所有城市并回到出发城市,形成初始路径。
3. 计算路径长度:计算初始路径的长度作为当前最短路径。
4. 搜索最优解:对于每个尚未加入路径的城市,将其加入路径的某个位置,计算新路径的长度;如果新路径长度小于当前最短路径,更新当前最短路径。
5. 剪枝:通过设定上界条件来剪枝,排除那些长度已经超过当前最短路径的路径。
6. 回溯:回溯到上一层,继续搜索和剪枝,直到找到最优路径。
算法的时间复杂度取决于搜索空间的大小。在最坏情况下,需要遍历所有可能的路径,搜索空间的大小是N!(N的阶乘),所以时间复杂度为O(N!)。但实际应用中,分支界限算法可以通过合理选择剪枝策略减小搜索空间,使时间复杂度降低。
举个例子:假设有4个城市A、B、C、D,各城市之间的距离如下:AB=10,AC=15,AD=20,BC=35,BD=25,CD=30,求解从A出发的最短路径。
1. 选择城市A作为出发点。
2. 构建初始路径:A → [B, C, D] → A。
3. 初始路径长度为10 + 15 + 20 = 45。
4. 搜索最优解:将B、C、D依次加入路径的第二个位置,计算新路径长度,得到[ACBD, ADBC, ABDC]。
4.1 [ACBD]路径长度为15 + 35 + 25 = 75,大于当前最短路径。
4.2 [ADBC]路径长度为20 + 35 + 30 = 85,大于当前最短路径。
4.3 [ABDC]路径长度为10 + 30 + 25 = 65,更新当前最短路径。
5. 剪枝:根据当前最短路径为65,将长度大于65的路径剪枝。
6. 回溯:回溯到上一层,继续搜索剩下的城市。
通过类似的方法,继续搜索和剪枝,直到找到最优路径。
### 回答3:
旅行售货员问题是一个经典的组合优化问题,其目标是找到一条最短路径,使得售货员能够在多个城市之间旅行一次,且每个城市只经过一次,最后回到起始城市。分支界限算法是一种常用的求解该问题的方法。
分支界限算法的求解步骤如下:
1. 确定旅行售货员问题的具体数据,并初始化路径长度为无穷大。
2. 使用贪心算法确定一个初始的路径,作为当前的最优路径。
3. 根据当前路径长度,对剩余的未访问城市进行扩展。将每个未访问的城市添加到当前路径的末尾,并计算新路径的长度。
4. 对新路径进行剪枝,将长度超过当前最优路径的路径舍弃。
5. 对剩余的路径继续扩展和剪枝,直到所有的路径被遍历完毕。
6. 输出最短路径和路径长度。
分析该算法的时间复杂度:
在分支界限算法中,对于每个城市,都需要进行一次扩展和剪枝操作,所以需要进行n次扩展和剪枝操作,其中n为城市的个数。每次扩展和剪枝的时间复杂度为O(n),因为需要计算新路径的长度并进行剪枝操作。所以总的时间复杂度为O(n^2)。
下面给出一个具体的算例:
假设有4个城市A、B、C、D,各城市间的距离如下:
A-B:1
A-C:5
A-D:3
B-C:4
B-D:2
C-D:6
初始路径为A,距离为0
1. 对于A,分别扩展到B、C、D,计算路径距离并分别为A-B:1,A-C:5,A-D:3
2. 对路径A-B进行剪枝,因为1+4=5大于当前最短路径的长度0,所以舍弃此路径。
3. 对路径A-C扩展到剩余两个城市,计算路径距离并分别为A-C-B:9,A-C-D:8
4. 对路径A-C-B进行剪枝,因为5+2=7大于当前最短路径的长度0,所以舍弃此路径。
5. 对路径A-C-D进行剪枝,因为3+6=9大于当前最短路径的长度0,所以舍弃此路径。
6. 所有路径被遍历完毕,最短路径为A,距离为0。
综上所述,分支界限算法可以在较快的时间内求解旅行售货员问题,并找到最优解。
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