简述旅行售货员问题的分支界限算法求解步骤,分析该算法的时间复杂度并给 出一个具体的算例。

时间: 2023-09-05 19:04:16 浏览: 141
### 回答1: 旅行售货员问题是指一个售货员要拜访一些城市,每个城市只能拜访一次,最后回到起点城市,使得总路程最短。这是一个NP问题,无法用多项式时间算法求解,因此需要用到分支界限算法。 分支界限算法的求解步骤如下: 1. 构造初始决策树。以起点城市为根节点,每个城市为一个子节点。 2. 对每个子节点,计算从起点城市到该节点的路径长度,并计算从该节点出发,经过未拜访的城市,回到起点城市的最小路径长度。 3. 按照最小路径长度排序,选择最小的子节点为当前节点。 4. 以当前节点为基础,对所有未拜访的城市进行扩展,形成新的子节点。 5. 对新的子节点,重复步骤2-4,直到所有节点都被扩展或者找到最优解。 该算法的时间复杂度为O(2^n * n^2),其中n为城市数量。由于需要遍历所有可能的情况,因此时间复杂度随着城市数量呈指数级增长。 以下是一个具体的算例: 假设有5个城市,起点城市为A,其他城市为B、C、D、E。它们之间的距离如下: | | A | B | C | D | E | |:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | A | - | 3 | 2 | 4 | 2 | | B | 3 | - | 5 | 6 | 5 | | C | 2 | 5 | - | 4 | 6 | | D | 4 | 6 | 4 | - | 2 | | E | 2 | 5 | 6 | 2 | - | 首先,构造初始决策树: ``` A / | \ B C D | E ``` 对每个子节点,计算从起点城市到该节点的路径长度,并计算从该节点出发,经过未拜访的城市,回到起点城市的最小路径长度: ``` A(0) / | \ B(3) C(2) D(4) | E(5) ``` 按照最小路径长度排序,选择最小的子节点C为当前节点。以C为基础,对所有未拜访的城市进行扩展,形成新的子节点: ``` A(0) / | \ B(3) C(2) / \ D(6) E(8) ``` 对新的子节点,重复上述步骤。选择最小路径长度为6的子节点D为当前节点,以D为基础进行扩展: ``` A(0) / | \ B(3) C(2) / \ D(6) E(8) | BDE(12) ``` 继续重复上述步骤,选择最小路径长度为12的子节点BDE为当前节点,以BDE为基础进行扩展: ``` A(0) / | \ B(3) C(2) / \ D(6) E(8) | BDE(12) | CDE(16) ``` 继续重复上述步骤,选择最小路径长度为16的子节点CDE为当前节点,以CDE为基础进行扩展: ``` A(0) / | \ B(3) C(2) / \ D(6) E(8) | BDE(12) | CDE(16) | BDEA(20) ``` 继续重复上述步骤,选择最小路径长度为20的子节点BDEA为当前节点,以BDEA为基础进行扩展: ``` A(0) / | \ B(3) C(2) / \ D(6) E(8) | BDE(12) | CDE(16) | BDEA(20) | CDEB(23) ``` 继续重复上述步骤,选择最小路径长度为23的子节点CDEB为当前节点,以CDEB为基础进行扩展: ``` A(0) / | \ B(3) C(2) / \ D(6) E(8) | BDE(12) | CDE(16) | BDEA(20) | CDEB(23) | BDEAC(27) ``` 由于所有节点都被扩展,算法结束。最优路径为A-C-D-E-B-A,总长度为27。 ### 回答2: 旅行售货员问题(Traveling Salesman Problem,TSP)是指给定一系列城市和每对城市之间的距离,求解经过每个城市一次并回到起始城市的最短路径。 分支界限算法是一种用于解决旅行售货员问题的有效算法。它的求解步骤如下: 1. 确定出发点:选择一个城市作为出发点。 2. 构建初始路径:从出发城市开始,按照某种方式选择下一个要访问的城市,直到遍历完所有城市并回到出发城市,形成初始路径。 3. 计算路径长度:计算初始路径的长度作为当前最短路径。 4. 搜索最优解:对于每个尚未加入路径的城市,将其加入路径的某个位置,计算新路径的长度;如果新路径长度小于当前最短路径,更新当前最短路径。 5. 剪枝:通过设定上界条件来剪枝,排除那些长度已经超过当前最短路径的路径。 6. 回溯:回溯到上一层,继续搜索和剪枝,直到找到最优路径。 算法的时间复杂度取决于搜索空间的大小。在最坏情况下,需要遍历所有可能的路径,搜索空间的大小是N!(N的阶乘),所以时间复杂度为O(N!)。但实际应用中,分支界限算法可以通过合理选择剪枝策略减小搜索空间,使时间复杂度降低。 举个例子:假设有4个城市A、B、C、D,各城市之间的距离如下:AB=10,AC=15,AD=20,BC=35,BD=25,CD=30,求解从A出发的最短路径。 1. 选择城市A作为出发点。 2. 构建初始路径:A → [B, C, D] → A。 3. 初始路径长度为10 + 15 + 20 = 45。 4. 搜索最优解:将B、C、D依次加入路径的第二个位置,计算新路径长度,得到[ACBD, ADBC, ABDC]。 4.1 [ACBD]路径长度为15 + 35 + 25 = 75,大于当前最短路径。 4.2 [ADBC]路径长度为20 + 35 + 30 = 85,大于当前最短路径。 4.3 [ABDC]路径长度为10 + 30 + 25 = 65,更新当前最短路径。 5. 剪枝:根据当前最短路径为65,将长度大于65的路径剪枝。 6. 回溯:回溯到上一层,继续搜索剩下的城市。 通过类似的方法,继续搜索和剪枝,直到找到最优路径。 ### 回答3: 旅行售货员问题是一个经典的组合优化问题,其目标是找到一条最短路径,使得售货员能够在多个城市之间旅行一次,且每个城市只经过一次,最后回到起始城市。分支界限算法是一种常用的求解该问题的方法。 分支界限算法的求解步骤如下: 1. 确定旅行售货员问题的具体数据,并初始化路径长度为无穷大。 2. 使用贪心算法确定一个初始的路径,作为当前的最优路径。 3. 根据当前路径长度,对剩余的未访问城市进行扩展。将每个未访问的城市添加到当前路径的末尾,并计算新路径的长度。 4. 对新路径进行剪枝,将长度超过当前最优路径的路径舍弃。 5. 对剩余的路径继续扩展和剪枝,直到所有的路径被遍历完毕。 6. 输出最短路径和路径长度。 分析该算法的时间复杂度: 在分支界限算法中,对于每个城市,都需要进行一次扩展和剪枝操作,所以需要进行n次扩展和剪枝操作,其中n为城市的个数。每次扩展和剪枝的时间复杂度为O(n),因为需要计算新路径的长度并进行剪枝操作。所以总的时间复杂度为O(n^2)。 下面给出一个具体的算例: 假设有4个城市A、B、C、D,各城市间的距离如下: A-B:1 A-C:5 A-D:3 B-C:4 B-D:2 C-D:6 初始路径为A,距离为0 1. 对于A,分别扩展到B、C、D,计算路径距离并分别为A-B:1,A-C:5,A-D:3 2. 对路径A-B进行剪枝,因为1+4=5大于当前最短路径的长度0,所以舍弃此路径。 3. 对路径A-C扩展到剩余两个城市,计算路径距离并分别为A-C-B:9,A-C-D:8 4. 对路径A-C-B进行剪枝,因为5+2=7大于当前最短路径的长度0,所以舍弃此路径。 5. 对路径A-C-D进行剪枝,因为3+6=9大于当前最短路径的长度0,所以舍弃此路径。 6. 所有路径被遍历完毕,最短路径为A,距离为0。 综上所述,分支界限算法可以在较快的时间内求解旅行售货员问题,并找到最优解。
阅读全文

相关推荐

最新推荐

recommend-type

1、 LMS算法与RLS算法有何异同点? 2、 自适应均衡器可以采用哪些最佳准则

RLS算法(Recursive Least Square)是基于最小二乘准则的自适应均衡算法,它使滤波器在一段时间内输出误差信号的平均功率最小。RLS算法的代价函数为:() = ∑ −=1|()|2 RLS算法的优点是收敛速度快、抗噪声性能优于...
recommend-type

matplotlib-3.6.3-cp39-cp39-linux_armv7l.whl

matplotlib-3.6.3-cp39-cp39-linux_armv7l.whl
recommend-type

numpy-2.0.1-cp39-cp39-linux_armv7l.whl

numpy-2.0.1-cp39-cp39-linux_armv7l.whl
recommend-type

基于springboot个人公务员考试管理系统源码数据库文档.zip

基于springboot个人公务员考试管理系统源码数据库文档.zip
recommend-type

基于Python和Opencv的车牌识别系统实现

资源摘要信息:"车牌识别项目系统基于python设计" 1. 车牌识别系统概述 车牌识别系统是一种利用计算机视觉技术、图像处理技术和模式识别技术自动识别车牌信息的系统。它广泛应用于交通管理、停车场管理、高速公路收费等多个领域。该系统的核心功能包括车牌定位、车牌字符分割和车牌字符识别。 2. Python在车牌识别中的应用 Python作为一种高级编程语言,因其简洁的语法和强大的库支持,非常适合进行车牌识别系统的开发。Python在图像处理和机器学习领域有丰富的第三方库,如OpenCV、PIL等,这些库提供了大量的图像处理和模式识别的函数和类,能够大大提高车牌识别系统的开发效率和准确性。 3. OpenCV库及其在车牌识别中的应用 OpenCV(Open Source Computer Vision Library)是一个开源的计算机视觉和机器学习软件库,提供了大量的图像处理和模式识别的接口。在车牌识别系统中,可以使用OpenCV进行图像预处理、边缘检测、颜色识别、特征提取以及字符分割等任务。同时,OpenCV中的机器学习模块提供了支持向量机(SVM)等分类器,可用于车牌字符的识别。 4. SVM(支持向量机)在字符识别中的应用 支持向量机(SVM)是一种二分类模型,其基本模型定义在特征空间上间隔最大的线性分类器,间隔最大使它有别于感知机;SVM还包括核技巧,这使它成为实质上的非线性分类器。SVM算法的核心思想是找到一个分类超平面,使得不同类别的样本被正确分类,且距离超平面最近的样本之间的间隔(即“间隔”)最大。在车牌识别中,SVM用于字符的分类和识别,能够有效地处理手写字符和印刷字符的识别问题。 5. EasyPR在车牌识别中的应用 EasyPR是一个开源的车牌识别库,它的c++版本被广泛使用在车牌识别项目中。在Python版本的车牌识别项目中,虽然项目描述中提到了使用EasyPR的c++版本的训练样本,但实际上OpenCV的SVM在Python中被用作车牌字符识别的核心算法。 6. 版本信息 在项目中使用的软件环境信息如下: - Python版本:Python 3.7.3 - OpenCV版本:opencv*.*.*.** - Numpy版本:numpy1.16.2 - GUI库:tkinter和PIL(Pillow)5.4.1 以上版本信息对于搭建运行环境和解决可能出现的兼容性问题十分重要。 7. 毕业设计的意义 该项目对于计算机视觉和模式识别领域的初学者来说,是一个很好的实践案例。它不仅能够让学习者在实践中了解车牌识别的整个流程,而且能够锻炼学习者利用Python和OpenCV等工具解决问题的能力。此外,该项目还提供了一定量的车牌标注图片,这在数据不足的情况下尤其宝贵。 8. 文件信息 本项目是一个包含源代码的Python项目,项目代码文件位于一个名为"Python_VLPR-master"的压缩包子文件中。该文件中包含了项目的所有源代码文件,代码经过详细的注释,便于理解和学习。 9. 注意事项 尽管该项目为初学者提供了便利,但识别率受限于训练样本的数量和质量,因此在实际应用中可能存在一定的误差,特别是在处理复杂背景或模糊图片时。此外,对于中文字符的识别,第一个字符的识别误差概率较大,这也是未来可以改进和优化的方向。
recommend-type

管理建模和仿真的文件

管理Boualem Benatallah引用此版本:布阿利姆·贝纳塔拉。管理建模和仿真。约瑟夫-傅立叶大学-格勒诺布尔第一大学,1996年。法语。NNT:电话:00345357HAL ID:电话:00345357https://theses.hal.science/tel-003453572008年12月9日提交HAL是一个多学科的开放存取档案馆,用于存放和传播科学研究论文,无论它们是否被公开。论文可以来自法国或国外的教学和研究机构,也可以来自公共或私人研究中心。L’archive ouverte pluridisciplinaire
recommend-type

网络隔离与防火墙策略:防御网络威胁的终极指南

![网络隔离](https://www.cisco.com/c/dam/en/us/td/i/200001-300000/270001-280000/277001-278000/277760.tif/_jcr_content/renditions/277760.jpg) # 1. 网络隔离与防火墙策略概述 ## 网络隔离与防火墙的基本概念 网络隔离与防火墙是网络安全中的两个基本概念,它们都用于保护网络不受恶意攻击和非法入侵。网络隔离是通过物理或逻辑方式,将网络划分为几个互不干扰的部分,以防止攻击的蔓延和数据的泄露。防火墙则是设置在网络边界上的安全系统,它可以根据预定义的安全规则,对进出网络
recommend-type

在密码学中,对称加密和非对称加密有哪些关键区别,它们各自适用于哪些场景?

在密码学中,对称加密和非对称加密是两种主要的加密方法,它们在密钥管理、计算效率、安全性以及应用场景上有显著的不同。 参考资源链接:[数缘社区:密码学基础资源分享平台](https://wenku.csdn.net/doc/7qos28k05m?spm=1055.2569.3001.10343) 对称加密使用相同的密钥进行数据的加密和解密。这种方法的优点在于加密速度快,计算效率高,适合大量数据的实时加密。但由于加密和解密使用同一密钥,密钥的安全传输和管理就变得十分关键。常见的对称加密算法包括AES(高级加密标准)、DES(数据加密标准)、3DES(三重数据加密算法)等。它们通常适用于那些需要
recommend-type

我的代码小部件库:统计、MySQL操作与树结构功能

资源摘要信息:"leetcode用例构造-my-widgets是作者为练习、娱乐或实现某些项目功能而自行开发的一个代码小部件集合。这个集合中包含了作者使用Python语言编写的几个实用的小工具模块,每个模块都具有特定的功能和用途。以下是具体的小工具模块及其知识点的详细说明: 1. statistics_from_scratch.py 这个模块包含了一些基础的统计函数实现,包括但不限于均值、中位数、众数以及四分位距等。此外,它还实现了二项分布、正态分布和泊松分布的概率计算。作者强调了使用Python标准库(如math和collections模块)来实现这些功能,这不仅有助于巩固对统计学的理解,同时也锻炼了Python编程能力。这些统计函数的实现可能涉及到了算法设计和数学建模的知识。 2. mysql_io.py 这个模块是一个Python与MySQL数据库交互的接口,它能够自动化执行数据的导入导出任务。作者原本的目的是为了将Leetcode平台上的SQL测试用例以字典格式自动化地导入到本地MySQL数据库中,从而方便在本地测试SQL代码。这个模块中的MysqlIO类支持将MySQL表导出为pandas.DataFrame对象,也能够将pandas.DataFrame对象导入为MySQL表。这个工具的应用场景可能包括数据库管理和数据处理,其内部可能涉及到对数据库API的调用、pandas库的使用、以及数据格式的转换等编程知识点。 3. tree.py 这个模块包含了与树结构相关的一系列功能。它目前实现了二叉树节点BinaryTreeNode的构建,并且提供了从列表构建二叉树的功能。这可能涉及到数据结构和算法中的树形结构、节点遍历、树的构建和操作等。利用这些功能,开发者可以在实际项目中实现更高效的数据存储和检索机制。 以上三个模块构成了my-widgets库的核心内容,它们都以Python语言编写,并且都旨在帮助开发者在特定的编程场景中更加高效地完成任务。这些工具的开发和应用都凸显了作者通过实践提升编程技能的意图,并且强调了开源精神,即将这些工具共享给更广泛的开发者群体,以便他们也能够从中受益。 通过这些小工具的使用,开发者可以更好地理解编程在不同场景下的应用,并且通过观察和学习作者的代码实现,进一步提升自己的编码水平和问题解决能力。"
recommend-type

"互动学习:行动中的多样性与论文攻读经历"

多样性她- 事实上SCI NCES你的时间表ECOLEDO C Tora SC和NCESPOUR l’Ingén学习互动,互动学习以行动为中心的强化学习学会互动,互动学习,以行动为中心的强化学习计算机科学博士论文于2021年9月28日在Villeneuve d'Asq公开支持马修·瑟林评审团主席法布里斯·勒菲弗尔阿维尼翁大学教授论文指导奥利维尔·皮耶昆谷歌研究教授:智囊团论文联合主任菲利普·普雷教授,大学。里尔/CRISTAL/因里亚报告员奥利维耶·西格德索邦大学报告员卢多维奇·德诺耶教授,Facebook /索邦大学审查员越南圣迈IMT Atlantic高级讲师邀请弗洛里安·斯特鲁布博士,Deepmind对于那些及时看到自己错误的人...3谢谢你首先,我要感谢我的两位博士生导师Olivier和Philippe。奥利维尔,"站在巨人的肩膀上"这句话对你来说完全有意义了。从科学上讲,你知道在这篇论文的(许多)错误中,你是我可以依