若(a,m)=1,b≡a( mod n),证明(b,m)= 1.
时间: 2023-12-21 22:03:14 浏览: 66
假设(b,m)≠1,则(b,m)=k(k>1),则m=kp,b=kq,其中p,q为正整数且(k,p)=1。
由题意得b≡a(mod n),即kq≡ak(mod n)。
因为(a,m)=1,所以a与m互质,即存在整数x、y,使得ax+my=1。
将上式两边同乘k,得akx+mky=k。
因为kq≡ak(mod n),所以存在整数t,使得kq=ak+tn,即kq-ak=tn。
将上式代入akx+mky=k,得ak(x+tq)+mky=1。
因为(x+tq)、y为整数,且(a,m)=1,所以(b,m)=1,与(b,m)≠1矛盾。
因此,假设不成立,即(b,m)=1。
相关问题
设(G,*)=(a)是n阶循环群,b=ak,kZ,证明 元素b是群G的生成元素,当且仅当n和k互素 (提示:若n与k互素,则存在整数p与q,使得pn+qk=1)
证明:
首先,如果n和k不互质,则存在正整数d使得n=md,k=nd,其中m和d均为正整数。那么b=ak=(a^d)^m,即b是(a^d)的m次幂,因此b不能是群G的生成元素。
接下来,假设n和k互质,我们要证明b是群G的生成元素。由于n阶循环群G中有且仅有n个元素,因此b的阶必定是n。也就是说,对于任意正整数m,b^m≠e(其中e表示G中的单位元素),否则b的阶不可能是n。
接下来,我们需要证明,对于任意元素a^i(i=1,2,...,n-1),都可以表示成b的幂次。考虑使用反证法,假设存在某个元素a^i不能表示成b的幂次。由于a^i是G的一个元素,因此它肯定属于某个子群H=<a^d>(其中d=gcd(i,n)),那么H的阶为n/d。又因为b是G的一个元素,因此b也属于H,而且b的阶为n。因此,存在正整数x和y,使得b^n=(a^d)^x,a^i=(a^d)^y。根据提示,由于n和k互质,存在整数p和q,使得pn+qk=1。那么有:
(a^d)^y = a^i = a^(qn+pd)y = (a^q)^n^y * (a^d)^p^y
因此,我们可以得到:
(a^q)^n^y = (a^d)^(y-p^yn)
因为a和a^q都是G中的元素,所以它们的阶都是n。因此,左右两边都是n阶元素的n次幂,它们相等当且仅当它们相等的阶是n。因此,我们可以得出:
y-p^yn ≡ 0 (mod n)
由于p和q的存在,我们可以得到:
pn+qk=1
qn ≡ 1 (mod n)
因此,存在正整数y',使得y=yn'+d。将其代入上面的式子中,我们可以得到:
yn' ≡ -p^yn' (mod n/d)
因为n和k互质,所以n和n/d也互质,因此我们可以将上式两边同时乘以p^n'y',得到:
(p^n'y')(yn'+1) ≡ 0 (mod n/d)
因为p和n/d互质,所以p^n'y'和yn'+1也互质。因此,我们可以得到:
yn'+1 ≡ 0 (mod n/d)
这意味着d|1,即d=1,而i和n互质,因此i和k也互质。因此,我们可以得到:
b^m = b^(mx+ny) = (a^k)^x * (a^n)^y = a^(kx+ny)
因此,任意元素a^i都可以表示成b的幂次,因此b是群G的生成元素。
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