三、设计α和β分配控制器，并确定位置和速度增益，使下列系统处于临界系统，且具有闭环刚度k=10N/m。 二. ( 1 ) τ = ( 2 θ + 1 ) θ 2 + 3 θ 2 − sin ⁡ θ ; 。 ( 2 ) τ = 5 θ θ + 2 θ ⊗ − 13 θ ⊗ + 5 。

为了使系统具有闭环刚度k=10N/m，我们可以使用以下公式计算位置和速度增益：

$$
k_p=\frac{k}{K_p},\ k_v=\frac{K_v}{K_p}
$$

其中，$K_p$和$K_v$分别是位置和速度增益。

对于第一种系统，其传递函数为：

$$
G(s)=\frac{1}{s^2(2s+1)+3s-sin(s)}
$$

我们可以使用MATLAB等工具计算出其根轨迹，然后选择合适的$\alpha$和$\beta$，使得根轨迹经过虚轴上的点。这样，系统就处于临界系统状态。同时，我们可以根据根轨迹的形状确定$K_p$和$K_v$的值，以满足系统的闭环刚度要求。

同样地，对于第二种系统，其传递函数为：

$$
G(s)=\frac{5s}{(s+2)(5s^2-13s+5)}
$$

我们也可以使用MATLAB等工具计算出其根轨迹，并根据根轨迹的形状选择合适的$\alpha$和$\beta$，以使系统处于临界系统状态。然后，我们也可以根据根轨迹的形状确定$K_p$和$K_v$的值，以满足系统的闭环刚度要求。

需要注意的是，在实际控制系统设计中，还需要考虑许多其他因素，如系统的稳定性、鲁棒性、响应速度等等。因此，在具体的工程实践中，需要综合考虑这些因素来设计控制器。

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