求模81的原根的详细过程

### 回答1：
首先，模 $81$ 的原根存在当且仅当模 $3$ 的阶 $\phi(3)=2$ 除以 $81$ 的阶 $\phi(81}=54$ 的余数为 $1$。

由欧拉定理可知，如果 $a$ 与 $m$ 互质，则 $a^{\phi(m)}\equiv 1\pmod{m}$，因此我们有 $a^{54}\equiv 1\pmod{81}$。

又因为 $3^4=81$，所以 $3^{54}\equiv 3^{54\bmod 4}\equiv 3^2\equiv 9\pmod{81}$，即 $\phi(3)$ 对 $81$ 取模的余数为 $9$。

我们需要找到一个数 $g$，它满足以下条件：

1. $g$ 与 $81$ 互质；
2. $g$ 的阶等于 $\phi(81)=54$。

因为 $3$ 是质数且 $3^4=81$，所以 $3$ 与 $81$ 互质。我们可以从小到大枚举 $g$，检查其是否满足条件。

首先，我们可以检查 $g=2$，因为 $2$ 与 $81$ 互质，且 $2^{54}\equiv 1\pmod{81}$。但是，我们需要再检查一下 $2^{27}\equiv -1\pmod{81}$，因为 $2$ 不一定是阶为 $54$ 的原根。

接下来，我们检查 $g=3$，因为 $3$ 与 $81$ 互质，且 $3^{54}\equiv 1\pmod{81}$。但是，我们需要再检查一下 $3^{27}\equiv -1\pmod{81}$，因为 $3$ 不一定是阶为 $54$ 的原根。

继续枚举 $g=4,5,\ldots$，直到找到满足条件的原根为止。

最终，我们可以得到模 $81$ 的原根为 $g=7$。因为 $7$ 与 $81$ 互质，且 $7^{54}\equiv 1\pmod{81}$，且 $7^{27}\equiv -1\pmod{81}$，满足条件。

### 回答2：
81的原根指的是一个数，此数可以用来产生所有与81互质的数的乘积模81后的余数。为了找到81的原根，我们可以按照以下步骤进行：

首先，我们要知道81是一个合数，它可以分解为3^4。因此，我们需要找到与81互质的数，它们的指数乘积等于4。

4可以分解为2^2，这意味着我们要找到与81互质的数，它们的指数分别为1和3。

首先，我们可以选择一个与81互质的数a。在这里，我们可以选择2、4、5、7、8、10、11、13、14、16、17、19、20、22、23、25、26、28、29、31、32、34、35、37、38、40、41、43、44、46、47、49、50、52、53、55、56、58、59、61、62、64、65、67、68、70、71、73、74、76、77、79和80中的一个数。

然后，我们将a的指数和3相乘得到一个新的数b。然后我们计算b除以81的余数，如果余数为1，则说明b是81的原根。

通过上述步骤，我们可以得到一个81的原根。不过需要注意的是，81有多个原根。在这个例子中，我们只找到了一个原根。如果想要找到所有的原根，则需要重复上述步骤，并选取不同的与81互质的数a。

总结起来，我们找到81的原根的过程可以分为以下几个步骤：找到与81互质的数a；计算a的指数和3的乘积；计算乘积除以81的余数；判断余数是否为1。