报童问题中E(q)求导结果

在报童问题中，E(q)表示期望利润，它是一个关于订货量q的函数。求导E(q)的过程如下：

首先，假设需求的概率分布为F(x)，成本为c，售价为p。则期望利润可以表示为：

E(q) = ∑[p min(q, x) - c q]F(x)

其中，∑表示对所有可能的需求取和。

接着，我们对E(q)求导，得到：

dE(q)/dq = ∑[p - c]F(x) （当q≥x时）

dE(q)/dq = pF(q) - c （当q<x时）

其中，第一个式子表示当q≥x时，期望利润对订货量的导数为(p-c)乘以需求的概率密度函数F(x)。第二个式子表示当q<x时，期望利润对订货量的导数为售价p乘以需求小于订货量的概率密度函数F(q)，再减去成本c。

需要注意的是，由于期望利润E(q)是一个分段函数，因此在计算导数时需要分别考虑q≥x和q<x两种情况。

相关问题

python解决报童问题

报童问题是一个经典的商品采购模型，通过考虑需求的不确定性来最大化销售利润。下面是Python解决报童问题的示例代码：

from random import *

seed(1) # 随机数种子，确保结果可复现
p = 5 # 售价
c = 2 # 进价
s = 1 # 残值

for i in [5, 20, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000]: # 样本数量
    D = []
    F = 0
    for n in range(i):
        D.append(randint(1000, 2000)) # 随机抽取需求量
    print(f"样本量为{i}时需求为{D[:20]}.")
    for q in range(min(D), max(D)): # 最优解一定在最低需求与最高需求之间产生
        E = 0
        for d in D:
            E += p * min(d, q) + s * max(q - d, 0) - c * q
        if E < F:
            print(f"最优解：订货量q为{q-1},平均收益E为{F/len(D)}")
            break
        else:
            F = E
    print("{:=^50s}".format("Split Line"))

该代码通过随机抽取需求量，计算不同订货量下的平均收益，并输出最优解。其中，样本数量可以根据需要进行调整。

matlab数学建模报童问题概率模型

报童问题是一种经典的动态规划问题，常用于演示如何运用概率和数学优化思想解决决策问题。在这个模型中，假设有一个报童需要每天决定是在当前城市卖完报纸还是去另一个城市销售，每个城市的购买者购买的概率是不同的，并且有一定成本移动到下一个城市。目标是找到最有利的策略，使得报童的收益最大化。

具体来说，数学建模过程通常涉及以下几个步骤：

1. **状态定义**：通常用二元变量表示报童是否停留在当前位置，如`Stay = 0`代表去下一个城市，`Stay = 1`代表留在原地。

2. **转移概率**：计算从一个城市移动到另一个城市的概率及对应的收益（减去成本）。

3. **决策规则**：定义策略，例如每一步都选择最大期望收益的城市，或者采用更复杂的策略如ε-greedy算法。

4. **动态规划**：构建状态转移方程或值函数，通常使用维恩图（也称作贝尔曼方程），通过迭代求解最优解。

5. **求解算法**：使用数值方法（如动态规划、模拟退火等）求出最优路径或策略。