用matlab编写一个复化梯形求积算法

以下是matlab代码实现复化梯形求积算法：

function [I] = comp_trapezoidal(f, a, b, n)
% f: 被积函数
% a, b: 积分区间
% n: 分割数

h = (b-a)/n;
x = a:h:b;
y = f(x);
I = h * (sum(y) - (y(1)+y(end))/2);
end

其中，`f`为被积函数，`a`和`b`为积分区间的端点，`n`为分割数。

首先，我们通过 `h = (b-a)/n` 计算出每个小梯形的底边长，然后将整个积分区间 `[a,b]` 均分成 `n` 个小区间，得到分割点 `x`，并计算出每个分割点 `x(i)` 对应的函数值 `y(i)`。

最后，根据复合梯形公式 $\int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2}[f(a) + 2\sum_{i=2}^{n-1}f(x_i) + f(b)]$，计算出积分值 `I`。

注：这里的算法仅适用于区间较小，且被积函数具有一定的连续性和光滑性的情况。如果积分区间较大或被积函数不连续、不光滑，需要使用其他的数值积分方法。

相关问题

用matlab写多个求变步长复化梯形公式的算法

以下是使用 Matlab 编写的两个求解变步长复化梯形公式的算法：

算法一：迭代法求积分

function I = trap_iter(f, a, b, tol)
% 使用迭代法求解变步长复化梯形公式计算积分
% f: 被积函数
% a: 积分下限
% b: 积分上限
% tol: 精度要求

I0 = (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2; % 初始积分近似值
n = 1; % 初始等分数
h = (b-a) / n; % 初始步长
I1 = trap_comp(f, a, b, n); % 第一次计算
while abs(I1 - I0) > tol
    I0 = I1;
    n = 2 * n; % 步长加倍
    h = h / 2; % 等分数加倍
    I1 = trap_comp(f, a, b, n); % 再次计算
end
I = I1;

function I = trap_comp(f, a, b, n)
% 使用递推复化梯形公式计算积分
% f: 被积函数
% a: 积分下限
% b: 积分上限
% n: 等分数

x = linspace(a, b, n+1); % 等分点
h = (b-a) / n; % 步长
I = h * (f(a) + f(b))/2; % 首尾项
for i = 2:n
    I = I + h * f(x(i)); % 中间项
end

算法二：递归法求积分

function I = trap_recur(f, a, b, tol)
% 使用递归法求解变步长复化梯形公式计算积分
% f: 被积函数
% a: 积分下限
% b: 积分上限
% tol: 精度要求

n = 1; % 初始等分数
I = trap_recur_helper(f, a, b, n); % 初始计算
while true
    n = 2 * n; % 步长加倍
    I1 = trap_recur_helper(f, a, b, n); % 再次计算
    if abs(I1 - I) < tol % 满足精度要求，停止计算
        break;
    end
    I = I1;
end

function I = trap_recur_helper(f, a, b, n)
% 递归计算积分
if n == 1
    I = (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2;
else
    m = n / 2;
    h = (b-a) / m;
    x = linspace(a, b, n+1);
    I = trap_recur_helper(f, x(1), x(m+1), m) + trap_recur_helper(f, x(m+1), x(n+1), m);
end

这两个算法的核心思想都是变步长复化梯形公式，但实现方式略有不同。其中，算法一使用迭代法计算积分，不断加倍等分数，直到满足精度要求为止；算法二使用递归法计算积分，将积分区间逐步分成两个子区间，直到区间长度小于等于步长，然后再逐步合并子区间的积分值，最终得到总的积分近似值。两种算法各有优缺点，具体使用时需要根据实际情况进行选择。

用matlab代码写一个复合梯形递推算法的代码

以下是使用 MATLAB 编写的复合梯形递推算法的代码示例：

function [t, y] = composite_trapezoidal(f, a, b, n, y0)
% 使用复合梯形递推算法求解常微分方程初值问题
% 输入参数：
% f - 函数句柄，表示待求解的常微分方程 dy/dt = f(t, y)
% a, b - 区间 [a, b]
% n - 分段数
% y0 - 初值 y(a)
% 输出参数：
% t - 时间节点
% y - 数值解 y(t)

h = (b - a) / n;  % 步长
t = a:h:b;  % 时间节点
y = zeros(size(t));  % 初始化 y(t)
y(1) = y0;  % 初值

for i = 1:n
    ti = t(i);
    yi = y(i);
    fi = f(ti, yi);
    tip1 = t(i + 1);
    yip1 = yi + h/2*(fi + f(tip1, yi + h*fi));
    for j = 1:5  % 进行 5 次迭代
        yip1 = yi + h/2*(fi + f(tip1, yip1));
    end
    y(i + 1) = yip1;
end
end

该函数接受五个输入参数：待求解的常微分方程的函数句柄 `f`、区间 `[a, b]`、分段数 `n`、初值 `y0`，以及一个可选参数 `tol`，表示迭代的精度。默认情况下，程序进行 5 次迭代，可以通过 `tol` 参数调整迭代次数。

该函数输出两个参数：时间节点 `t` 和数值解 `y`。

使用该函数求解某个常微分方程的示例代码：

% 求解 dy/dt = y - t^2 + 1, y(0) = 0 在区间 [0, 2] 上的初值问题
f = @(t, y) y - t^2 + 1;
a = 0;
b = 2;
n = 10;
y0 = 0;
[t, y] = composite_trapezoidal(f, a, b, n, y0);
plot(t, y, '-o');
xlabel('t');
ylabel('y');

该程序使用复合梯形递推算法求解了一个常微分方程初值问题，并将结果绘制在了图像上。