为什么决策函数的斜率是特征向量的摸

在机器学习中，决策函数是用来分类或回归的函数。在支持向量机（SVM）中，决策函数通常是超平面的方程，表示为 $\textbf{w} \cdot \textbf{x} + b = 0$，其中 $\textbf{w}$ 是法向量，$b$ 是偏移量，$\textbf{x}$ 是输入向量。如果 $\textbf{x}$ 位于超平面上方，则其类别为正类；如果 $\textbf{x}$ 位于超平面下方，则其类别为负类。

特征向量是用来描述数据的向量，它们通常是高维的。在 SVM 中，特征向量描述了数据点在不同特征上的取值情况。特征向量的模长表示了数据点在高维空间中的距离，即 $\|\textbf{x}\|$。

斜率是指直线的倾斜程度，也就是直线在坐标系中的角度。在 SVM 中，决策函数的斜率等于法向量 $\textbf{w}$ 的斜率，因为法向量垂直于超平面。此时，我们可以将法向量 $\textbf{w}$ 表示为 $\textbf{w} = \|\textbf{w}\| (\cos \theta, \sin \theta)$，其中 $\theta$ 是法向量与 $x$ 轴的夹角。根据三角函数，斜率为 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\|\textbf{x}\|}{\|\textbf{w}\|}$，也就是特征向量的模长。因此，决策函数的斜率等于特征向量的模长。