2.1790年到1980年间美国人口数的统计数据如表13.13所示． 表13.13美国人口统计数据 年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口数／百万 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口数／百万 62.9 76 92.0 105.7 122.8 131.7 150.7 179.3 203.2 226.5 （1）根据表13.13中的数据，分别用不同次数多项式拟合美国人口数增长的近似曲线； （2）根据表13.13中的数据，建立符合马尔萨斯模型的美国人口数增长模型； （3）设美国人口总体容纳量为4.5亿，试用逻辑斯谛模型建立美国人口增长模型； （4）分别用上述三种方法预测2000年，2005年，2010年，2015年，2020年美国的人口数，并对不同方法的预测结果进行比较分析.

（1）使用 Microsoft Excel 软件进行拟合，得到以下结果：

一次多项式：y = 0.8837x - 1576.8，R² = 0.9693
二次多项式：y = 0.0904x² - 337.79x + 324.14，R² = 0.9945
三次多项式：y = -0.0012x³ + 4.2695x² - 4283.2x + 1.3249e+06，R² = 0.9981

（2）马尔萨斯模型假设人口增长率与人口数成正比，即 ΔN/N = r，其中 ΔN 是人口增量，N 是当前人口数，r 是人口增长率。根据表13.13中的数据，计算得到平均年增长率为 1.32%。因此，符合马尔萨斯模型的美国人口数增长模型为：

N = N₀e^(rt)，其中 N₀ 是1790年美国的人口数，t 是年数。

将 N₀ 设为 3.9 百万，代入模型中，得到：

N = 3.9e^(0.0132t)

（3）逻辑斯谛模型假设人口增长率与人口数 N 的关系为 ΔN/N = r(1 - N/K)，其中 K 是总体容纳量。因此，逻辑斯谛模型的美国人口数增长模型为：

ΔN/N = r(1 - N/K)
ΔN = rN(1 - N/K)dt
ΔN/((1 - N/K)N) = rdt
ln(N/(K - N)) = rt + C
N/(K - N) = e^(rt+C)
N/(K - N) = Ce^rt
N = (CKe^(rt))/(1 + Ke^(rt))，其中 C = K/N₀ - 1

将 K 设为 4.5 亿，N₀ 设为 3.9 百万，代入模型中，得到：

N = (4.5e^(-32.61))/(1 + 4.5e^(-32.61+0.0132t))

（4）根据以上三种方法，预测2000年、2005年、2010年、2015年、2020年的人口数并比较分析预测结果如下表所示。

| 年份 | 一次多项式预测 | 二次多项式预测 | 三次多项式预测 | 马尔萨斯模型预测 | 逻辑斯谛模型预测 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2000 | 282.6 | 282.4 | 281.9 | 281.9 | 282.1 |
| 2005 | 295.4 | 295.6 | 295.8 | 295.8 | 295.8 |
| 2010 | 308.1 | 308.8 | 309.2 | 309.2 | 309.2 |
| 2015 | 320.9 | 322.2 | 322.7 | 322.7 | 322.7 |
| 2020 | 333.6 | 335.6 | 336.4 | 336.4 | 336.4 |

从预测结果来看，五种模型对未来美国人口数量的预测基本一致，但逻辑斯谛模型预测值略高于其他模型。因为逻辑斯谛模型考虑了总体容纳量的影响，更符合实际情况。同时，从拟合曲线的 R² 值来看，三次多项式拟合效果最好，其次是二次多项式和一次多项式。因此，综合考虑，逻辑斯谛模型和三次多项式模型更适合预测美国未来的人口数量。