有多种物品和多个背包都为规则长方体,且物品和背包都有长、宽、高、体积、重量、一定数量,现需把物品放到背包里,装载时采用“密度递增”的定序规则和“占角策略”的定位规则,将密度最小的货物第一个放入原点所在的角落,依次填充背包。同时在货物摆放过程中,设置重量约束,体积约束、三维尺寸约束(即长、宽、高约束),背包重量平衡约束,直到剩余空间不再支持继续放入货物。以背包空间利用率最大为目标函数,求解货物摆放情况。请用Python对上述问题举一个例子补充数据建模求解,并输出最优装载方案,详细至哪个背包放了哪种物品多少个
时间: 2023-05-29 08:03:40 浏览: 39
由于题目中涉及到多种约束条件,我们可以采用整数规划的方法进行求解。具体建模如下:
1. 定义决策变量
设 $x_{ijk}$ 表示第 $i$ 个物品在第 $j$ 个背包中放置 $k$ 个的变量,其中 $i=1,2,\cdots,n$,$j=1,2,\cdots,m$,$k=0,1,2,\cdots,K_i$,$n$ 表示物品的个数,$m$ 表示背包的个数,$K_i$ 表示第 $i$ 个物品的最大放置个数。
2. 目标函数
由于我们的目标是最大化背包空间利用率,因此可以定义目标函数为:
$$\max \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{k=0}^{K_i} x_{ijk} \cdot v_i \cdot k / V_j$$
其中,$v_i$ 表示第 $i$ 个物品的体积,$V_j$ 表示第 $j$ 个背包的体积。
3. 约束条件
(1) 重量约束
对于每个背包,放置的物品重量不能超过该背包的最大承重。因此,对于每个背包 $j$,可以设置如下约束条件:
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{K_i} x_{ijk} \cdot w_i \leq W_j$$
其中,$w_i$ 表示第 $i$ 个物品的重量,$W_j$ 表示第 $j$ 个背包的最大承重。
(2) 体积约束
对于每个背包,放置的物品体积不能超过该背包的容量。因此,对于每个背包 $j$,可以设置如下约束条件:
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{K_i} x_{ijk} \cdot v_i \leq V_j$$
(3) 三维尺寸约束
对于每个背包,放置的物品的长、宽、高都不能超过该背包的长、宽、高。因此,对于每个背包 $j$,可以设置如下约束条件:
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{K_i} x_{ijk} \cdot l_i \leq L_j$$
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{K_i} x_{ijk} \cdot w_i \leq W_j$$
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{K_i} x_{ijk} \cdot h_i \leq H_j$$
其中,$l_i$、$w_i$、$h_i$ 分别表示第 $i$ 个物品的长、宽、高,$L_j$、$W_j$、$H_j$ 分别表示第 $j$ 个背包的长、宽、高。
(4) 背包重量平衡约束
为了保证各个背包的负载平衡,可以设置如下约束条件:
$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=0}^{K_i} x_{ijk} \cdot w_i \cdot k \leq \frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m} W_j$$
其中,$\sum_{j=1}^{m} W_j$ 表示所有背包的最大承重之和,$\frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m} W_j$ 表示平均每个背包的最大承重。
4. 模型求解
根据上述建模过程,可以使用Python中的整数规划库求解,例如使用PuLP库。具体代码实现如下:
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