学生自己给定数据集和实验代码，以尝试理解线性回归理论及实践的全过程。

好的，你的第一个问题是关于学生自己给定数据集和实验代码，以尝试理解线性回归理论及实践的全过程。那么，我可以为您提供一些有关线性回归理论及实践的知识和建议。

线性回归是一种基本的统计学习方法，广泛应用于数据分析、机器学习和人工智能等领域。其基本思想是利用线性方程来描述自变量和因变量之间的关系，并通过最小化误差平方和来确定模型参数。线性回归模型的训练过程通常使用梯度下降法等优化算法来完成。

如果学生想要理解线性回归的全过程，可以按照以下步骤进行：

1. 确定数据集：首先，学生需要确定一个适当的数据集，该数据集应包含自变量和因变量之间的相关数据。可以在公开数据集中选择一个适当的数据集，或者自己创建一个数据集。

2. 数据预处理：在使用数据集进行模型训练之前，需要对数据进行一些预处理操作，例如数据清洗、数据归一化、数据编码等。

3. 模型训练：使用预处理后的数据集进行模型训练，可以使用Python等编程语言实现线性回归模型，并使用梯度下降法等算法进行模型训练。

4. 模型评估：训练完成后，需要对模型进行评估，可以使用一些指标如均方误差、平均绝对误差等来评估模型的性能。

5. 模型应用：最后，可以使用训练好的模型来进行预测和应用，例如预测房价、股票价格等。

以上是基本的线性回归全过程，希望能对您有帮助。

相关问题

线性回归模型、最小二乘参数估计

### 线性回归模型中的最小二乘法

#### 定义与目标
在一元线性回归分析中，为了使给定的 \(n\) 个样本点尽可能接近所假设的一元线性回归方程，设定误差项表示每个样本点偏离该直线的程度。理想情况下希望这些样本点完全位于直线上，但实际上这是不可能实现的目标；因此转而追求让实际观测值同由模型预测出来的估计值间的差异——具体表现为误差平方和达到最小化状态[^1]。

对于多元情况下的线性关系表达式可以写作 \(y = X\theta + b\) ，这里 \(X\) 表示输入特征向量组成的矩阵形式的数据集，\(θ\) 则代表待估参数向量，而 \(b\) 是偏置项或截距部分[^2]。

#### 最小二乘准则及其数学表述
采用最小二乘方法的核心在于寻找一组最优解 \(\hat{\theta}\)，它能够确保所有训练实例上的残差（即观察到的真实响应变量减去基于当前权重计算所得预期输出）经过二次运算后的累积总和降至最低限度：

\[E = \sum_{i=0}^{n}{e_i^2}=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2\]

此处 \(y_i\) 和 \(\hat{y}_i\) 分别对应第 \(i\) 条记录的实际测量结果以及依据现有模型推测出的结果[^3]。

当我们将上述损失函数关于未知数 \(\theta\) 进行微分操作并令其等于零时，则可获得用于求解最佳拟合系数的具体解析公式:

\[\frac{{dE}}{{d\theta }}=-2X^\top(Y-X\theta)=0\]

从而得出正规方程组的形式为：

\[X^\top Y=X^\top X\theta\]

最终得到闭型解决方案：

\[\hat{\theta}=(X^\top X)^{-1}X^\top Y\]

此过程不仅适用于简单的一次多项式情形，同样也能推广至更高维度的空间内处理更复杂的多因素影响问题。

import numpy as np

def least_squares(X, y):
    """
    使用最小二乘法估算线性回归模型的参数
    
    参数:
        X : 输入特征矩阵 (m,n), m为样本数量, n为特征数目.
        y : 输出标签列向量 (m,)
        
    返回:
        theta_hat : 计算得到的最佳参数向量 (n+1,) 包含了常数项在内的全部回归系数
    """

    # 添加一列为全1以便考虑偏移量/截距
    ones_column = np.ones((len(X), 1))
    extended_X = np.hstack([ones_column, X])

    # 应用正规方程式求解最优化参数
    theta_hat = np.linalg.inv(extended_X.T @ extended_X) @ extended_X.T @ y

    return theta_hat