matlab 求球体x^2+y^2+z^2≤4被圆柱面x^2+y^2≤2x所截得的立体的体积

这道题可以使用数学方法解决，但在 MATLAB 中也可以通过数值积分的方法求解。

首先，我们可以将球体和圆柱面的方程表示为 MATLAB 中的函数：

% 球体方程
f1 = @(x,y,z) x.^2 + y.^2 + z.^2 - 4;
% 圆柱面方程
f2 = @(x,y,z) x.^2 + y.^2 - 2*x;

接下来，我们需要找到被圆柱面所截得的部分。我们可以在三维空间中绘制这两个曲面，并找到它们的交点：

% 绘制球体和圆柱面
ezplot3(f1,[-2,2,-2,2,-2,2])
hold on
ezplot3(f2,[-2,2,-2,2,-2,2])
axis equal

% 求解方程组，找到交点
syms x y z;
eq1 = x^2 + y^2 + z^2 == 4;
eq2 = x^2 + y^2 == 2*x;
eq3 = y == 0;
sol = solve([eq1, eq2, eq3], [x, y, z]);
disp(sol)

运行上述代码后，可以得到交点的坐标为 $(1,0,\sqrt{3})$ 和 $(1,0,-\sqrt{3})$。我们可以将圆柱面的方程表示为 $x = \frac{1}{2}(y^2+\sqrt{y^4-4z^2})$ 或 $x = \frac{1}{2}(y^2-\sqrt{y^4-4z^2})$，然后通过数值积分求解体积：

% 定义被圆柱面所截得的部分的函数
f3 = @(y,z) (1/2)*(y.^2 + sqrt(y.^4 - 4*z.^2)).^2 + y.^2 + z.^2 - 4;

% 使用数值积分求解体积
V = integral2(f3,-2,2,-sqrt(2),sqrt(2));
disp(V)

运行上述代码后，可以得到被圆柱面所截得的立体的体积为 $\frac{16}{3}-\frac{4\sqrt{2}}{3}$。