最速下降法的步长如何计算

最速下降法的步长通常使用Armijo准则来计算。具体步骤如下：

1. 选择一个初始步长t>0，将其设置为一个较小的数（比如1e-3）。

2. 计算函数f在当前点x下降的梯度g。

3. 计算目标函数f在当前点x上沿着梯度g移动距离为t时的函数值f(x - tg)。

4. 判断函数值的变化是否满足Armijo准则：f(x - tg) <= f(x) - sigma * t * g^T * g（其中sigma为一个小于1的可调参数，一般取0.1或0.2）。

5. 如果满足条件，则返回步长t，否则将步长t乘上一个缩放因子（比如0.5），然后重复第3和第4步，直到满足Armijo准则。

6. 当步长t达到一定的最小值（比如1e-10）或者迭代次数达到一定的上限时，停止迭代。

注意：在实际应用中，最速下降法可能会出现“zig-zag”情况，这时可以考虑使用更高级的优化算法，如共轭梯度法或牛顿法。

相关问题

最速下降法步长确定，c++

最速下降法是一种基本的优化算法，用于解决无约束最优化问题。步长的确定可以使用一些经典的算法，例如Armijo算法、Goldstein算法、Wolfe算法等。

以下是使用Armijo算法确定步长的C++代码示例：

double f(double x) {
    // 定义目标函数
}

double df(double x) {
    // 定义目标函数的导数
}

double armijo(double x, double alpha, double beta) {
    double t = 1.0;
    double fx = f(x);
    double dfx = df(x);
    while (f(x - t * dfx) > fx - alpha * t * dfx * dfx) {
        t *= beta;
    }
    return t;
}

void gradientDescent() {
    double epsilon = 1e-6;
    double x = 0.0; // 初始值
    double alpha = 0.5;
    double beta = 0.5;
    double step = 1.0;
    while (true) {
        double dfx = df(x);
        if (fabs(dfx) < epsilon) {
            break;
        }
        step = armijo(x, alpha, beta);
        x = x - step * dfx;
    }
    // 输出最优解
}

在代码中，`f`和`df`分别代表目标函数和目标函数的导数，`armijo`函数使用Armijo算法确定步长，`gradientDescent`函数使用最速下降法进行优化。其中，`epsilon`表示精度，`alpha`和`beta`分别是Armijo算法中的两个参数，`x`是初始值，`step`是每次迭代的步长。

三分法确定最速下降法步长，c++

最速下降法是一种基本的优化方法，用于解决无约束优化问题。在最速下降法中，步长的选择非常关键，一般采用三分法来确定步长，以下是一个 C++ 实现：

#include <iostream>
#include <cmath>

double f(double x) { // 定义目标函数
    return pow(x - 2, 2) + 1;
}

double ternary_search(double l, double r) {
    double eps = 1e-6; // 精度
    while (r - l > eps) {
        double m1 = l + (r - l) / 3;
        double m2 = r - (r - l) / 3;
        if (f(m1) < f(m2)) {
            r = m2;
        } else {
            l = m1;
        }
    }
    return (l + r) / 2;
}

int main() {
    double x = ternary_search(-100, 100);
    std::cout << "最小值点 x = " << x << std::endl;
    std::cout << "最小值 f(x) = " << f(x) << std::endl;
    return 0;
}

在上面的代码中，我们首先定义了目标函数 f(x)，然后使用 ternary_search 函数来确定步长。在这个函数中，我们使用 while 循环来迭代，每次将搜索区间缩小为原来的 1/3，直到区间长度小于给定的精度 eps。最后返回区间中点作为步长。

在主函数中，我们使用 ternary_search 函数求出最小值点 x 和最小值 f(x)。