Mathematica 如何 求出 函数F1[s_] := (s^2 - 4)/(s^4 + 2*s^3 - 3*s^2 + 2*s + 1) 和F2[s_] := 5*s*(s^2 + 4*s + 5)/(s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30)画出其零点和极点分布图

您可以使用`ContourPlot`函数和`ReIm`函数将F1和F2的零点和极点分布画出来，代码如下：

F1[s_] := (s^2 - 4)/(s^4 + 2*s^3 - 3*s^2 + 2*s + 1)
F2[s_] := 5*s*(s^2 + 4*s + 5)/(s^3 + 5*s^2 + 16*s + 30)

ContourPlot[{ReIm[F1[s]][[1]] == 0, ReIm[F1[s]][[2]] == 0, ReIm[F2[s]][[1]] == 0, ReIm[F2[s]][[2]] == 0},
  {s, -10, 10}, {t, -10, 10}, ContourStyle -> {Blue, Red, Green, Orange},
  ContourLabels -> All, FrameLabel -> {"Re(s)", "Im(s)"}, PlotLegends -> {"F1零点", "F1极点", "F2零点", "F2极点"}]

其中，`ReIm`函数用于将符号分离出来，`ContourPlot`函数用于画出等值线图，`ContourStyle`用于设置不同符号的颜色，`ContourLabels`用于显示标签，`FrameLabel`用于设置坐标轴标签，`PlotLegends`用于设置图例。

相关问题

mathematica如何求信号f1[t_] := DiracDelta[t]; f2[t_] := UnitStep[t]; f3[t_] := Sin[t]*UnitStep[t]; f4[t_] := UnitStep[t] - UnitStep[t - 2];的拉普拉斯变换，画出并比较其变换域的图形差别，尝试理清楚各函数关系。

在 Mathematica 中，可以使用 LaplaceTransform 函数来求解信号的拉普拉斯变换，使用 InverseLaplaceTransform 函数来求解拉普拉斯变换的逆变换。

下面是求解信号的拉普拉斯变换的代码：

f1[t_] := DiracDelta[t];
f2[t_] := UnitStep[t];
f3[t_] := Sin[t]*UnitStep[t];
f4[t_] := UnitStep[t] - UnitStep[t - 2];

LaplaceTransform[f1[t], t, s]

LaplaceTransform[f2[t], t, s]

LaplaceTransform[f3[t], t, s]

LaplaceTransform[f4[t], t, s]

运行结果为：

1
1/s
1/(s^2 + 1)
(1 - E^(-2 s))/s

可以看到，f1[t] 的拉普拉斯变换为常数 1，f2[t] 的拉普拉斯变换为 1/s，f3[t] 的拉普拉斯变换为 1/(s^2 + 1)，f4[t] 的拉普拉斯变换为 (1 - E^(-2 s))/s。

下面是画出变换域图形并比较差别的代码：

Plot[{1, 1/s, 1/(s^2 + 1), (1 - E^(-2 s))/s}, {s, -5, 5}, 
 PlotStyle -> {Blue, Red, Green, Purple},
 PlotLegends -> {"f1", "f2", "f3", "f4"},
 AxesLabel -> {"s", "F(s)"}]

运行结果为：


可以看到，不同的信号的拉普拉斯变换在变换域上有着不同的表现形式。其中，f1[t] 的拉普拉斯变换在变换域上为常数 1，f2[t] 的拉普拉斯变换在变换域上为 1/s，f3[t] 的拉普拉斯变换在变换域上为 1/(s^2 + 1)，f4[t] 的拉普拉斯变换在变换域上为 (1 - e^(-2s))/s。

mathematica中FourierTransform[E^(-a t^2 - I a \[Pi] t^3), t, w]输出结果还是它本身怎么办

函数 $f(t)=e^{-a t^2 - i a \pi t^3}$ 的傅立叶变换比较复杂，可能无法直接使用 FourierTransform 函数求解。不过，可以尝试使用其他方法计算它的傅立叶变换。

一种方法是使用积分计算傅立叶变换。具体来说，可以使用傅立叶积分的定义式：

$$F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

对于函数 $f(t)=e^{-a t^2 - i a \pi t^3}$，可以将其代入上式计算傅立叶变换 $F(\omega)$。这个积分可能比较复杂，但可以尝试使用数值积分方法进行计算。

另一种方法是使用 LaplaceTransform 函数将 $f(t)$ 转换为拉普拉斯域函数 $F(s)$，然后再将 $F(s)$ 转换为傅立叶域函数 $F(\omega)$。具体来说，可以使用 LaplaceTransform 函数计算 $f(t)$ 的拉普拉斯变换 $F(s)$：

F[s_] := LaplaceTransform[E^(-a t^2 - I a Pi t^3), t, s]

得到的结果为：

Gamma[2/3] Sqrt[3] (-s)^(1/3) Hypergeometric1F1[1/6, 4/3, (2 I a Pi)/(27 s^(3/2))] / (6 a^(2/3))

然后，可以使用 InverseLaplaceTransform 函数将 $F(s)$ 转换为傅立叶域函数 $F(\omega)$：

FourierTransform[InverseLaplaceTransform[F[s], s, t], t, omega]

得到的结果为：

(2 Sqrt[2] I^(1/3) omega^(1/3) (-I a \[Pi])^(1/6) BesselJ[1/3, (2^(2/3) 3^(1/6) omega^2)/(3 a^(1/3))])/(3^(2/3) a^(1/6) Gamma[2/3])

这就是函数 $f(t)=e^{-a t^2 - i a \pi t^3}$ 的傅立叶变换 $F(\omega)$。