在10个顶点的无向图中,每对顶点之间以概率0.6存在一条权重为[1,10]上随机整数的边,首先生成该图。然后求解下列问题: (1)求该图的最小生成树。 (2)求顶点v1到顶点v10的最短距离和最短路径。 (3)求所有顶点对之间的最短距离。
时间: 2023-05-30 20:01:34 浏览: 264
(1)使用Prim算法或Kruskal算法可以求解最小生成树。这里以Prim算法为例:
1. 任选一个顶点作为起点,将其加入最小生成树中。
2. 从与最小生成树相连的顶点中,选择一条边权最小的边,将其连接的顶点加入最小生成树中。
3. 重复步骤2,直到所有顶点都被加入最小生成树中。
(2)使用Dijkstra算法可以求解单源最短路径。这里以顶点v1为源点为例:
1. 初始化距离数组dist,将源点v1的距离设为0,其他顶点的距离设为无穷大。
2. 将源点v1加入已确定最短路径的集合S中。
3. 对于所有与v1相邻的顶点,更新其距离dist,并将其加入未确定最短路径的集合Q中。
4. 从集合Q中选择距离最小的顶点u,并将其加入已确定最短路径的集合S中。
5. 对于所有与u相邻的顶点,如果通过u能够获得更短的距离,则更新其距离dist。
6. 重复步骤4和步骤5,直到集合Q为空。
求出dist数组后,可以得到v1到v10的最短距离和最短路径。
(3)使用Floyd算法可以求解所有顶点对之间的最短距离。
1. 初始化距离矩阵dist,dist[i][j]表示顶点i到顶点j的距离,如果i和j之间没有边,则dist[i][j]为无穷大,否则为边的权重。
2. 对于每个顶点k,枚举所有顶点i和j,如果dist[i][k]+dist[k][j]的距离比dist[i][j]更小,则更新dist[i][j]的距离。
3. 重复步骤2,直到所有顶点对的距离都被计算出来。
得到dist矩阵后,可以得到任意两个顶点之间的最短距离。
相关问题
用python编程实现在10个顶点的无向图中,每对顶点之间以概率0.6存在一条权重为[1,10]上随机整数的边,首先生成该图。然后求解下列问题: (1)求该图的最小生成树。
好的,让我来帮你用 Python 实现这个问题。
首先,我们需要生成10个顶点的无向图。可以使用邻接矩阵来表示这个图,其中每个元素表示两个顶点之间的边的权重。我们可以随机生成每条边的权重,并且以0.6的概率选择是否存在这条边。
下面是实现代码:
```python
import random
# 生成10个顶点的无向图
graph = [[0] * 10 for i in range(10)]
for i in range(10):
for j in range(i+1, 10):
if random.random() < 0.6:
weight = random.randint(1, 10)
graph[i][j] = weight
graph[j][i] = weight
# 输出生成的图
print("生成的图:")
for row in graph:
print(row)
```
接下来,我们需要求该图的最小生成树。可以使用Prim算法或Kruskal算法来实现。这里我们使用Prim算法。具体实现过程如下:
1. 选择一个起点,将其加入集合S中。
2. 在所有不在S中的顶点中,选择与S中的顶点相连的边权重最小的顶点,将其加入S中。
3. 重复步骤2,直到所有顶点都在S中。
4. 最终S中的顶点和边组成的图就是原图的最小生成树。
下面是实现代码:
```python
# Prim算法求最小生成树
def prim(graph):
n = len(graph)
selected = [False] * n
selected[0] = True
edges = []
for i in range(n-1):
min_weight = float('inf')
min_from = 0
min_to = 0
for j in range(n):
if selected[j]:
for k in range(n):
if not selected[k] and graph[j][k] > 0 and graph[j][k] < min_weight:
min_weight = graph[j][k]
min_from = j
min_to = k
selected[min_to] = True
edges.append((min_from, min_to, min_weight))
return edges
# 输出最小生成树
print("最小生成树:")
edges = prim(graph)
for edge in edges:
print(edge[0], "-", edge[1], ":", edge[2])
```
这样,我们就可以生成10个顶点的无向图,并且求出它的最小生成树了。
用python编程在10个顶点的无向图中,每对顶点之间以概率0.6存在一条权重为[1,10]上随机整数的边,首先生成该图。然后求解下列问题:(2)求顶点v1到顶点v10的最短距离和最短路径。分别用Prim和Kruskal算法实现
好的,针对你的问题,我可以为你提供以下Python代码实现,其中用到了networkx库和heapq库:
```python
import random
import networkx as nx
import heapq
# 生成无向图
G = nx.Graph()
for i in range(1, 11):
for j in range(i+1, 11):
if random.random() <= 0.6:
weight = random.randint(1, 10)
G.add_edge(i, j, weight=weight)
# Prim算法实现最短距离和最短路径
def prim(G, start):
visited = set([start])
candidate_edges = [(weight, start, to) for to, weight in G[start].items()]
heapq.heapify(candidate_edges)
mst = []
total_weight = 0
while candidate_edges:
weight, frm, to = heapq.heappop(candidate_edges)
if to not in visited:
visited.add(to)
mst.append((frm, to))
total_weight += weight
for to_next, weight in G[to].items():
if to_next not in visited:
heapq.heappush(candidate_edges, (weight, to, to_next))
return mst, total_weight
mst_prim, weight_prim = prim(G, 1)
print("Prim算法求解:")
print("最短距离:", nx.shortest_path_length(G, source=1, target=10, weight='weight'))
print("最短路径:", nx.shortest_path(G, source=1, target=10, weight='weight'))
print("Prim算法求得的最小生成树边集:", mst_prim)
print("Prim算法求得的最小生成树权重:", weight_prim)
# Kruskal算法实现最短距离和最短路径
def kruskal(G):
edges = [(G[u][v]['weight'], u, v) for u, v in G.edges()]
edges.sort()
mst = []
total_weight = 0
uf = {u:u for u in G.nodes()}
for weight, u, v in edges:
if uf[u] != uf[v]:
mst.append((u, v))
total_weight += weight
old = uf[u]
new = uf[v]
for w, k in uf.items():
if k == old:
uf[w] = new
return mst, total_weight
mst_kruskal, weight_kruskal = kruskal(G)
print("Kruskal算法求解:")
print("最短距离:", nx.shortest_path_length(G, source=1, target=10, weight='weight'))
print("最短路径:", nx.shortest_path(G, source=1, target=10, weight='weight'))
print("Kruskal算法求得的最小生成树边集:", mst_kruskal)
print("Kruskal算法求得的最小生成树权重:", weight_kruskal)
```
解释一下代码的思路:首先使用networkx库生成一个10个节点的空图,然后遍历所有节点对,以0.6的概率添加一条边,边的权重在[1,10]之间随机生成。接下来,使用Prim算法和Kruskal算法分别求出该图的最小生成树,并输出最小生成树的边集和权重。最后,使用networkx库提供的`shortest_path_length`和`shortest_path`函数求出顶点v1到顶点v10的最短距离和最短路径,并输出结果。
希望这个代码可以帮助到你!