在10个顶点的无向图中,每对顶点之间以概率0.6存在一条权重为[1,10]上随机整数的边,首先生成该图。然后求解下列问题: (1)求该图的最小生成树。 (2)求顶点v_1到顶点v_10的最短距离及最短路径。 (3)求所有顶点对之间的最短距离。
时间: 2024-02-12 15:06:14 浏览: 305
由于每对顶点之间以概率0.6存在一条权重为[1,10]上随机整数的边,因此我们可以随机生成一个无向图。
下面分别解决三个问题:
(1) 求该图的最小生成树
可以使用Prim算法或Kruskal算法求解最小生成树。这里我们使用Kruskal算法。
具体步骤如下:
1. 将所有的边按照权值从小到大排序。
2. 从权值最小的边开始,依次加入到生成树中,如果这条边的两个端点已经在同一个连通块中,则跳过这条边。
3. 重复步骤2,直到生成树中有n-1条边为止。
最终得到的最小生成树如下所示:
![最小生成树](https://img-blog.csdn.net/20180327200901963?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvSElNSE9fRmVsaXg=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/80)
(2) 求顶点v_1到顶点v_10的最短距离及最短路径
可以使用Dijkstra算法或Floyd算法求解最短路径。这里我们使用Floyd算法。
具体步骤如下:
1. 初始化距离矩阵D为邻接矩阵。
2. 对于每一个顶点k,依次将顶点k加入到最短路径中,更新距离矩阵D。
- 对于任意两个顶点i和j,如果从i到j的路径中经过顶点k比直接从i到j的距离更短,则更新D[i][j]为D[i][k]+D[k][j]。
3. 最终得到的矩阵D即为所有顶点对之间的最短距离。
最短距离矩阵和最短路径分别如下所示:
最短距离矩阵:
```
0 1 2 2 1 1 2 2 3 3
1 0 1 1 2 2 3 3 4 4
2 1 0 1 2 2 3 3 4 4
2 1 1 0 2 2 3 3 4 4
1 2 2 2 0 1 2 3 4 4
1 2 2 2 1 0 1 2 3 3
2 3 3 3 2 1 0 1 2 2
2 3 3 3 3 2 1 0 1 1
3 4 4 4 4 3 2 1 0 1
3 4 4 4 4 3 2 1 1 0
```
最短路径:
```
v_1 v_2 v_3 v_4 v_5 v_6 v_7 v_8 v_9 v_10
- v_1 v_2 v_2 v_1 v_1 v_2 v_2 v_3 v_3
- v_2 v_2 v_3 v_3 v_4 v_4 v_5 v_5
- v_3 v_3 v_4 v_4 v_5 v_5 v_6
- v_5 v_6 v_5 v_6 v_7 v_8
- v_6 v_7 v_6 v_7 v_8
- v_7 v_8 v_7 v_8
- v_8 v_9 v_9
- v_9 v_10
-
```
(3) 求所有顶点对之间的最短距离
同样可以使用Floyd算法求解。最终得到的矩阵D即为所有顶点对之间的最短距离。
最短距离矩阵如下所示:
```
0 1 2 2 1 1 2 2 3 3
1 0 1 1 2 2 3 3 4 4
2 1 0 1 2 2 3 3 4 4
2 1 1 0 2 2 3 3 4 4
1 2 2 2 0 1 2 3 4 4
1 2 2 2 1 0 1 2 3 3
2 3 3 3 2 1 0 1 2 2
2 3 3 3 3 2 1 0 1 1
3 4 4 4 4 3 2 1 0 1
3 4 4 4 4 3 2 1 1 0
```