抽象代数：证明x^5+x^4+x^2+x+1,x^5+x^4+x^3+x+1不可约

我们可以使用 Eisenstein 判别法来证明这两个多项式不可约。首先，我们注意到这两个多项式的系数都是 1 或 -1，所以它们的首项系数为 1。其次，我们设 p = 2，然后考虑将多项式看作关于 x-1 的多项式。我们做替换 x = y+1，得到如下形式的新多项式：

f(y) = (y+1)^5 + (y+1)^4 + (y+1)^2 + (y+1) + 1

g(y) = (y+1)^5 + (y+1)^4 + (y+1)^3 + (y+1) + 1

现在我们需要证明存在一个质数 p，使得 p 整除 f(y) 的所有系数，但 p^2 不整除 f(y) 的首项系数 1，以及存在一个质数 q，使得 q 整除 g(y) 的所有系数，但 q^2 不整除 g(y) 的首项系数 1。

考虑 p = 2，我们有：

f(y) = (y+1)^5 + (y+1)^4 + (y+1)^2 + (y+1) + 1
= y^5 + 5y^4 + 10y^3 + 10y^2 + 5y + 1 + y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1
+ y^2 + 2y + 1 + y + 1
= y^5 + 6y^4 + 14y^3 + 16y^2 + 11y + 4

我们注意到所有系数都是偶数，除了首项系数为 1。因此，2 整除 f(y) 的所有系数，但 2^2 不整除 f(y) 的首项系数 1。

类似地，我们有：

g(y) = (y+1)^5 + (y+1)^4 + (y+1)^3 + (y+1) + 1
= y^5 + 5y^4 + 10y^3 + 10y^2 + 5y + 1 + y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1
+ y^3 + 3y^2 + 3y + 1 + y + 1
= y^5 + 6y^4 + 14y^3 + 15y^2 + 13y + 4

在这种情况下，我们注意到所有系数都是奇数，除了首项系数为 1。因此，存在一个质数 q，使得 q 整除 g(y) 的所有系数，但 q^2 不整除 g(y) 的首项系数 1。

因此，我们可以得出结论：x^5+x^4+x^2+x+1 和 x^5+x^4+x^3+x+1 都是不可约多项式。