抽象代数：证明x^5+x^4+x^3+x+1不可约

我们可以使用反证法来证明$x^5+x^4+x^3+x+1$是不可约的。

假设$x^5+x^4+x^3+x+1$可约，那么它可以表示为两个次数小于等于2的多项式的乘积，即：

$x^5+x^4+x^3+x+1 = (x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$

其中$a,b,c,d,e$都是实数。我们注意到，由于$x^5+x^4+x^3+x+1$的系数都是1，所以$a,b,c,d,e$都必须是整数。

我们首先考虑第一个因子$x^2+ax+b$。由于它的次数小于等于2，因此它有两个复数根$r_1$和$r_2$。这意味着：

$x^2+ax+b = (x-r_1)(x-r_2)$

同样地，我们考虑第二个因子$x^3+cx^2+dx+e$。它的次数也小于等于2，因此它有三个复数根$s_1,s_2,s_3$。这意味着：

$x^3+cx^2+dx+e = (x-s_1)(x-s_2)(x-s_3)$

现在我们考虑将两个因子相乘的结果展开：

$(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e) = x^5 + (a+c)x^4 + (ac+b+d)x^3 + (ad+bc+e)x^2 + (bd+ae)x + be$

我们将它与$x^5+x^4+x^3+x+1$进行比较，得到以下等式：

\begin{aligned} a+c &= 1 \\ ac+b+d &= 1 \\ ad+bc+e &= 1 \\ bd+ae &= 0 \\ be &= 1 \end{aligned}

我们注意到，由于$a,b,c,d,e$都是整数，因此$be$必须等于1或-1。但是，由于$x^5+x^4+x^3+x+1$的系数都是正数，因此$be$必须等于1。这意味着$b$和$e$都必须等于1或-1。

现在我们考虑可能的情况：

如果$b=e=1$，那么$bd+ae$等于2，与等式$ad+bc+e=1$矛盾。

如果$b=e=-1$，那么$bd+ae$等于-2，与等式$ad+bc+e=1$矛盾。

如果$b=1$且$e=-1$，那么$bd+ae$等于-1，与等式$ad+bc+e=1$矛盾。

如果$b=-1$且$e=1$，那么$bd+ae$等于-1，与等式$ad+bc+e=1$矛盾。

因此，我们无法找到一组整数$a,b,c,d,e$，使得$x^5+x^4+x^3+x+1$能够表示为两个次数小于等于2的多项式的乘积。因此，$x^5+x^4+x^3+x+1$是不可约的。