抽象代数：验证x^5+x^4+x^3+x+1是不可约的

要验证$x^5+x^4+x^3+x+1$是否为不可约多项式，我们可以使用Eisenstein判别法。

首先，我们观察到该多项式的系数均为1，因此我们可以使用模$p$意义下的Eisenstein判别法。我们选择$p=2$，然后将多项式$f(x)=x^5+x^4+x^3+x+1$写成二进制形式：

$$f(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x + 1 = 10111_2$$

接下来，我们需要将多项式$f(x)$写成如下形式：

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

其中，$a_n=1$，$a_0=1$，并且$a_i\in\mathbb{Z}_2$（二元域）。然后，我们需要找到一个质数$p$，使得$p$整除所有非首项系数$a_i$，并且$p$不整除$a_n$。在本例中，我们选择$p=2$，因为所有系数都是0或1，并且2不整除$a_n=1$。

根据Eisenstein判别法，如果$f(x)$能够被一个次数为$n$的不可约多项式$g(x)$整除，那么$g(x)$必须满足以下条件：

1. $g(x)$的首项系数为1；
2. $g(x)$的所有非首项系数均可被$p$整除；
3. $g(x)$的常数项必须不能被$p^2$整除。

我们知道，$f(x)$不满足条件2和3，因此$f(x)$不可约。因此，$x^5+x^4+x^3+x+1$是不可约多项式。