抽象代数：验证x^5+x^4+x^3+x+1不可约

首先，我们需要知道一个定理：如果一个多项式在有理数域上不可约，那么它在有限域上也不可约。

因此，我们可以尝试在有限域上验证该多项式是否不可约。由于该多项式的次数为5，我们可以选择在GF(2)上验证。

首先，将该多项式转化为GF(2)上的二进制形式：

x^5 + x^4 + x^3 + x + 1 = 1 0 1 1 1

接下来，我们可以枚举该多项式的因子。由于该多项式是一个5次多项式，因此它的因子必须是1次或2次的多项式。

1次多项式可以表示为x+a的形式，其中a为GF(2)上的元素。因此，我们只需要枚举a的取值即可：

x+0 = 1 0 1 1 1
x+1 = 1 1 0 0 0

发现不存在1次因子。

2次多项式可以表示为(x^2+ax+b)的形式，其中a、b为GF(2)上的元素。同样地，我们枚举a、b的取值即可：

x^2+x+0 = 1 0 1 1 1
x^2+x+1 = 1 1 0 1 0
x^2+1+x = 1 1 1 0 1
x^2+1+1 = 1 0 0 1 1
x^2+x+1+x = 1 1 1 1 1

发现不存在2次因子。

因此，该多项式在GF(2)上不可约，根据之前提到的定理，我们可以得出结论：该多项式在有理数域上也不可约。

相关问题

抽象代数：验证x^5+x^4+x^2+x+1,x^5+x^4+x^3+x+1不可约

### 回答1：
我们可以使用 Eisenstein 判别法来验证这两个多项式是否不可约。首先，我们观察到两个多项式的首项系数都是 1，因此我们只需要考虑将它们写成以下形式：

$x^5+x^4+x^2+x+1 = (x+a)b(x)$

$x^5+x^4+x^3+x+1 = (x+a)c(x)$

其中 $a$ 是整数，$b(x)$ 和 $c(x)$ 都是次数小于 4 的多项式。

我们选择 $a=-1$，那么这两个多项式就变成了：

$x^5+x^4+x^2+x+1 = (x-1)b(x)$

$x^5+x^4+x^3+x+1 = (x-1)c(x)$

现在我们需要证明，如果 $b(x)$ 和 $c(x)$ 都是整系数的多项式，且它们的系数中除了最高项系数外，其余的都是 0 或 $\pm 1$，那么它们必须是常数多项式。这个结论可以使用反证法证明：

假设 $b(x)$ 或 $c(x)$ 不是常数多项式，那么它们至少有一个次数大于 0 的非零系数。因为 $b(x)$ 和 $c(x)$ 的系数中除了最高项系数外，其余的都是 0 或 $\pm 1$，所以它们的非零系数必须是 $\pm p$ 的形式，其中 $p$ 是一个质数。因为 $b(x)$ 和 $c(x)$ 都是整系数的多项式，所以 $p$ 也必须是它们的系数的公因数。

现在我们观察 $(x-1)b(x)$ 和 $(x-1)c(x)$ 在 $x=1+p$ 的时候的值：

$(1+p-1)b(1+p) = pb(1+p)$

$(1+p-1)c(1+p) = pc(1+p)$

因为 $b(x)$ 和 $c(x)$ 的系数中除了最高项系数外，其余的都是 0 或 $\pm 1$，所以 $b(1+p)$ 和 $c(1+p)$ 都是整数，且它们中至少有一个不是 $0$。因为 $p$ 是它们的系数的公因数，所以 $p$ 也是它们的函数值的公因数。因此，$(1+p-1)b(1+p)$ 和 $(1+p-1)c(1+p)$ 都是 $p$ 的倍数。但是，$x^5+x^4+x^2+x+1$ 在 $x=1+p$ 的时候的值是 $p^5+p^4+p^2+p+1$，而 $x^5+x^4+x^3+x+1$ 在 $x=1+p$ 的时候的值是 $p^5+p^4+p^3+p+1$，它们的差是 $p^3-p^4$，不是 $p$ 的倍数，因此这个假设不成立。

因此，我们得出结论：如果 $b(x)$ 和 $c(x)$ 都是次数小于 4 的整系数多项式，且它们的系数中除了最高项系数外，其余的都是 0 或 $\pm 1$，那么它们必须是常数多项式。因此 $x^5+x^4+x^2+x+1$ 和 $x^5+x^4+x^3+x+1$ 都不可约。

### 回答2：
要验证多项式不可约性，需要证明它无法被分解为两个较低次数的多项式之积。

首先考虑多项式 x^5 x^4 x^2 x 1。设其可分解为两个多项式 g(x) 和 h(x) 之积，即 x^5 x^4 x^2 x 1 = g(x) * h(x)。

对于 g(x) 和 h(x)，至少有一个是次数为 1 的多项式。假设 g(x) 是次数为 1 的多项式，则 g(x) = a*x + b，其中 a 和 b 是常数。

将这个表达式代入方程 x^5 x^4 x^2 x 1 = g(x) * h(x) 中，可以得到：
x^5 x^4 x^2 x 1 = (a*x + b) * h(x)。

观察左侧多项式的系数，可以得出结论：a=1，b=1。因此， (a*x + b) * h(x) = x * h(x) + h(x) = x^5 x^4 x^2 x 1。

由此可得，h(x) = x^4 x^2 x 1。但这样的 h(x) 并非一个较低次数的多项式，违背了假设 g(x) 和 h(x) 至少有一个是次数为 1 的多项式的假设。因此，x^5 x^4 x^2 x 1 不可约。

同样的方式可以验证 x^5 x^4 x^3 x 1 也不可约，即将 x^5 x^4 x^3 x 1 分解为两个多项式的情况不存在。

综上所述，x^5 x^4 x^2 x 1 和 x^5 x^4 x^3 x 1 都不可约。

抽象代数：验证x^5+x^4+x^3+x+1是不可约的

要验证$x^5+x^4+x^3+x+1$是否为不可约多项式，我们可以使用Eisenstein判别法。

首先，我们观察到该多项式的系数均为1，因此我们可以使用模$p$意义下的Eisenstein判别法。我们选择$p=2$，然后将多项式$f(x)=x^5+x^4+x^3+x+1$写成二进制形式：

$$f(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x + 1 = 10111_2$$

接下来，我们需要将多项式$f(x)$写成如下形式：

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

其中，$a_n=1$，$a_0=1$，并且$a_i\in\mathbb{Z}_2$（二元域）。然后，我们需要找到一个质数$p$，使得$p$整除所有非首项系数$a_i$，并且$p$不整除$a_n$。在本例中，我们选择$p=2$，因为所有系数都是0或1，并且2不整除$a_n=1$。

根据Eisenstein判别法，如果$f(x)$能够被一个次数为$n$的不可约多项式$g(x)$整除，那么$g(x)$必须满足以下条件：

1. $g(x)$的首项系数为1；
2. $g(x)$的所有非首项系数均可被$p$整除；
3. $g(x)$的常数项必须不能被$p^2$整除。

我们知道，$f(x)$不满足条件2和3，因此$f(x)$不可约。因此，$x^5+x^4+x^3+x+1$是不可约多项式。