对数几率回归的代价函数

对数几率回归（Logistic Regression）的代价函数通常使用交叉熵（Cross Entropy）作为代价函数。对于二分类问题，其代价函数可表示为：

$$J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y^{(i)}\log(h_\theta(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\log(1-h_\theta(x^{(i)}))]$$

其中，$m$ 表示训练样本数，$x^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练样本的特征，$y^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练样本的真实标签（0 或 1），$h_\theta(x^{(i)})$ 表示使用参数 $\theta$ 计算得到的第 $i$ 个训练样本为正例的概率，即：

$$h_\theta(x^{(i)})=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx^{(i)}}}$$

交叉熵代价函数的实际意义是：当预测值与真实值越接近时，交叉熵的值越小，反之亦然。因此，使用交叉熵作为代价函数可以有效地评估模型的预测效果，并且可以使用梯度下降等优化算法来最小化代价函数，从而求得最优的参数 $\theta$。

相关问题

在正则化对数几率回归代价函数的代码中为什么要加上y=[:，np.newaxis],y=[:，np.newaxis]表示什么意思

在正则化对数几率回归代价函数中，通常需要对输入的标签数据进行处理，将其转化为二维数组的形式。其中，y=[:，np.newaxis]的作用是将一维的标签数据y转化为二维的数组形式，以便后续计算。

具体来说，y=[:，np.newaxis]的作用是将一维数组y的每个元素都变成一个单独的行向量，即将原来的形式 [y1, y2, ..., yn] 转化为：

[[y1],
 [y2],
 ...
 [yn]]

这样处理后，y就变成了一个形状为 (n, 1) 的二维数组，其中 n 是标签数据的总数。

在正则化对数几率回归代价函数中，y的形状需要与预测值 h 的形状相同，因此需要将 y 转化为二维数组形式。

代价敏感学习与逻辑回归

### 代价敏感学习与逻辑回归

#### 实现方法

在传统的逻辑回归中，损失函数通常采用交叉熵损失，该损失假设所有类型的错误成本相同。然而，在实际应用中，不同类型误判的成本可能差异很大。为了应对这种情况，可以在构建逻辑回归模型时引入代价矩阵，从而调整决策边界以适应不同种类误差的不同重要性。

具体而言，可以通过修改标准的最大似然估计目标函数来实现这一点。当训练数据集中的某些类别的实例比其他类别更重要或更昂贵时，可以给这些重要的类别分配更高的权重。这相当于改变了原始优化问题的目标函数：

\[ L(\theta) = \sum_{i=1}^{N}\left[-y_i\log(h_\theta(x_i))-(1-y_i)\log(1-h_\theta(x_i))\right]\cdot w(y_i), \]

其中 \(w(y_i)\) 表示第 i 个样本的真实标签对应的权值[^1]。

另一种方式是在预测阶段考虑代价因素。即使模型已经训练完成并固定下来之后，也可以通过改变阈值的方式来进行代价敏感的预测。例如，默认情况下，如果预测概率大于等于0.5，则认为属于正类；但如果知道假阳性的代价远高于真阴性的话，就可以提高这个阈值至更高水平，如0.7甚至以上[^2]。

#### 应用场景

- **金融风控领域**：银行贷款审批过程中，拒绝一个合格申请人的损失远远小于批准了一个不合格申请人带来的风险。因此，在建立信用评分卡时会特别重视这种不对称性。

- **医疗诊断系统**：疾病检测中漏诊可能导致严重后果而误诊相对影响较小的情况下，应该更加谨慎对待潜在病患群体，降低漏检率成为首要任务之一。

- **广告投放平台**：在线广告服务商希望最大化收益的同时最小化不必要的支出。对于高价值客户群体会给予更多关注，因为他们能带来更大的商业回报。

#### 研究论文

关于此主题的研究文献众多，以下是几篇具有代表性的文章：

- "Cost-sensitive learning of classification knowledge and its applications to medical diagnosis" by Foster Provost 和 Tom Fawcett 提出了早期版本的概念框架，并探讨了其在医学上的运用；

- "A simple method for cost-sensitive logistic regression" by Charles Elkan 描述了一种简单有效的策略——通过对数几率变换重新加权样本来解决不平衡的数据集问题；

- "Optimizing precision-recall tradeoffs under budget constraints" by Bianca Zadrozny et al., 讨论了如何在一个固定的预算内平衡精度和召回率之间关系的方法论。