如果原图是平面图,现在构造其对偶图,对偶图的边数等于原图的边数 在原图每个域中取一个点作为对偶图中点。
时间: 2024-05-26 15:16:05 浏览: 123
构造对偶图的步骤如下:
1. 对于每个原图的面(包括无限大的面),在该面内任选一个点作为对偶图中的点。
2. 对于每条原图的边,通过连接对应面的点,构造对偶图中的一条边。
3. 对于两个原图的面共用一条边的情况,对偶图中对应的两条边相交于原图边的中点。
根据这个构造方法可知,对偶图的边数等于原图的面数,因为每个面对应对偶图中的一个点,每个边对应对偶图中的一个面,所以对偶图的点数也等于原图的边数。同时由于每个面至少有三条边,所以对偶图的边数至少为3n,其中n为原图的面数。
相关问题
设平面图G=是自对偶图,证明|E|=2(|V|-1)
设平面图G为自对偶图,即G的平面对偶图同构于G本身。由欧拉公式,有:
V - E + F = 2
其中V、E、F分别为G的顶点数、边数、面数。因为G是平面图,所以每个面都是由至少三条边围成的简单多边形,所以有:
3F ≤ 2E
同时,由于G是自对偶图,所以F=E/2。将上述两式代入欧拉公式中,得到:
V - E + E/2 ≤ 2
化简可得:
E ≤ 2(V - 1)
因此,证明了当G为自对偶图时,有|E|=2(|V|-1)。
平面图得到对偶图的一个有向树
对于一个平面图,可以通过其边界和所有内部连通区域的边来定义一个面。然后可以构造一个对偶图,其中每个面对应一个节点,每条边对应一个连接两个面的有向边。这个对偶图的一个有向树可以通过以下步骤构造:
1. 从任意一个面开始,将其作为根节点,并将其所有相邻的面(即与其共享一条边的面)连接到根节点上,形成根节点的子节点。
2. 对于每个子节点,重复步骤1,将其相邻的面连接到它上面。
3. 重复以上步骤,直到所有面都被访问过为止。
最终得到的有向树即为该平面图的对偶图的有向树。