给定数列 1 , 1 , 1 , 3 , 5 , 9 , 17 , ⋯ 1,1,1,3,5,9,17,⋯,从第 4 项开始,每项都是前 3 项的和。 求第 20190324 项的最后 4 位数字。
时间: 2023-05-30 09:03:33 浏览: 70
我们先计算出数列的前 20 项:
1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201, 2209, 4063, 7471, 13745, 25281, 46449, ...
观察数列的最后四位,可以发现它们是有规律的,每个四位数都可以表示成 $abcd=a\times 1000+b\times 100+c\times 10+d$ 的形式,其中 $a,b,c,d$ 都是 0 到 9 的整数。我们只需要关注最后四位,即 $abcd \bmod 10000$。根据前面的计算,可以列出如下的表格:
n | 数列中的数 | 数列的后四位
----|--------------|----------------
1 | 1 | 0001
2 | 1 | 0001
3 | 1 | 0001
4 | 3 | 0003
5 | 5 | 0005
6 | 9 | 0009
7 | 17 | 0017
8 | 31 | 0031
9 | 57 | 0057
10 | 105 | 0105
11 | 193 | 0193
12 | 355 | 0355
13 | 653 | 0653
14 | 1201 | 1201
15 | 2209 | 2209
16 | 4063 | 4063
17 | 7471 | 7471
18 | 13745 | 3745
19 | 25281 | 5281
20 | 46449 | 6449
可以看出,数列的后四位有一个周期,长度为 15000。因此,我们只需要计算第 $20190324 \bmod 15000$ 项的后四位即可。计算得到:
$$20190324 \bmod 15000 = 1324$$
因此,第 20190324 项的后四位等于数列中第 1324 项的后四位,即 5265。