算法设计题,要求给出问题描述及算法设计思路,用伪代码描述算法,最后分析算法的复杂度。用回溯法求解0-1背包问题。

问题描述：

给定一个背包，它能够装载一定重量的物品。现在有n个物品，其中第i个物品重量为wi，价值为vi。要求在不超过背包重量限制的情况下，选择一些物品装入背包，使得背包中所装物品的总价值最大。

算法设计思路：

回溯法是一种通过搜索所有可能的解来求解问题的方法。对于0-1背包问题，回溯法的思路是：对于每个物品，可以选择将其放入背包或者不放入背包，直到所有物品都被处理完毕，然后根据所得的结果选择最优方案。

具体实现时，可以使用递归函数backtrack(i, cw, cv)，其中i表示正在处理的物品序号，cw表示当前背包中已经装入的物品的重量，cv表示当前背包中已经装入的物品的价值。递归过程中，分别考虑将第i个物品装入背包和不装入背包两种情况，然后根据所得的结果选择最优方案。

伪代码描述算法：

max_value = 0  // 最大价值
n = len(w)  // 物品数量
W = 背包最大容量

// i 表示当前处理的物品序号，cw 表示当前背包中已经装入的物品的重量，cv 表示当前背包中已经装入的物品的价值
backtrack(i, cw, cv):
    if i == n or cw == W:  // 所有物品都已经处理完毕或者背包已经装满
        if cv > max_value:
            max_value = cv
        return
    backtrack(i+1, cw, cv)  // 不将第 i 个物品装入背包
    if cw + w[i] <= W:  // 将第 i 个物品装入背包
        backtrack(i+1, cw+w[i], cv+v[i])

backtrack(0, 0, 0)  // 从第一个物品开始处理

return max_value

算法复杂度分析：

由于对于每个物品都有装入背包和不装入背包两种情况，因此回溯树的深度为n，即物品的数量。每个节点有两个分支，因此回溯树的宽度为2。假设背包的最大容量为W，则每个节点需要判断一次是否超过背包容量限制，因此时间复杂度为O(2^n)，空间复杂度为O(n)，其中n为物品的数量。在实际应用中，可以通过剪枝等优化方式来提高回溯算法的效率。