高阶容积卡尔曼滤波python

### 关于高阶容积卡尔曼滤波的Python实现

高阶容积卡尔曼滤波（Higher-order Cubature Kalman Filter, HO-CKF）是一种扩展了传统容积卡尔曼滤波的方法，旨在提高状态估计精度并适用于更复杂的非线性系统。HO-CKF通过引入更高阶的积分规则来近似系统的统计特性。

#### 容积卡尔曼滤波简介

容积卡尔曼滤波基于球面径向 cubature 规则，在预测和更新阶段利用一组确定性的采样点（也称为sigma点），这些点能够精确捕捉均值和协方差矩阵的信息[^1]。对于标准CKF而言，采用的是三次cubature规则；而对于HO-CKF，则可能涉及到五次甚至更高的多项式拟合方法。

#### Python实现概览

下面提供了一个简化版的二阶容积卡尔曼滤波器框架，该框架可以根据具体应用场景调整成更高阶的形式：

import numpy as np

class CKFilter:
    def __init__(self, state_dim, obs_dim):
        self.state_dim = state_dim
        self.obs_dim = obs_dim
        
        # 初始化状态向量及其先验分布参数
        self.x_pred = np.zeros((state_dim,))
        self.P_pred = np.eye(state_dim)

        # 过程噪声与观测噪声协方差矩阵
        self.Q = np.eye(state_dim)*0.01
        self.R = np.eye(obs_dim)*0.1
    
    def predict(self, f_func=None):
        """预测步骤"""
        if not callable(f_func): 
            raise ValueError('f_func must be a function')
        
        # 计算Sigma Points以及对应的权重w_m,w_c
        SPs, w_m, w_c = self._generate_sigma_points()
        
        # 对每个SP应用动态模型函数f_func得到新的样本集Y'
        Y_prime = []
        for sp in SPs.T:
            y_p = f_func(sp.reshape(-1, 1))
            Y_prime.append(y_p.flatten())
            
        Y_prime = np.array(Y_prime).T
        
        # 更新预测的状态x_pred 和 协方差P_pred
        self.x_pred = (w_m @ Y_prime.T).reshape(-1,)
        P_temp = ((Y_prime - self.x_pred[:, None]) * w_c) @ (Y_prime - self.x_pred[:, None]).T + self.Q
        self.P_pred = P_temp
        
    def update(self, z_measured, h_func=None):
        """校正/测量更新步骤"""
        if not callable(h_func): 
            raise ValueError('h_func must be a function')

        SPs, _, _ = self._generate_sigma_points()

        Z_hat = []    
        for sp in SPs.T:
            zh = h_func(sp.reshape(-1, 1))
            Z_hat.append(zh.flatten())

        Z_hat = np.array(Z_hat).T

        z_mean = (Z_hat.mean(axis=1)).reshape(-1,)  
        S = (((Z_hat - z_mean[:,None])**2).mean(axis=-1)) + self.R.diagonal()  

        K = (self.P_pred @ (Z_hat-z_mean[:,None])).dot(np.linalg.inv(S*np.eye(len(S))))
        
        residual = z_measured - z_mean
        self.x_pred += K.dot(residual)
        self.P_pred -= K.dot(S*K.T)

    def _generate_sigma_points(self):
        n = self.state_dim
        sqrt_P = np.linalg.cholesky(self.P_pred).T
        xi = np.sqrt(2*n)*sqrt_P
        Xi = np.hstack([xi,-xi])
        Xis = np.vstack([Xi]*n)
        Wm = Wi = np.ones(n*2)/(2*n)
        return Xis+self.x_pred[:,np.newaxis],Wm,Wi

此代码片段定义了一个基本类`CKFilter`用于执行一阶容积卡尔曼滤波过程。要将其转换为支持多阶运算的形式，需修改`_generate_sigma_points()`内部逻辑以适应不同阶数的要求，并相应地调整其他部分如预测(`predict`)和更新(`update`)环节中的计算方式。