对偶单纯形法max例题详解

对偶单纯形法是线性规划中的一种求解方法，用于求解最大化问题的对偶问题。以下以一个例题来详细介绍对偶单纯形法的求解过程。

假设有一个最大化问题的线性规划模型如下：
max 3x1 + 4x2
s.t. 2x1 + x2 ≤ 6
x1 + 2x2 ≤ 4
x1, x2 ≥ 0

首先，我们将原问题转化为标准形式。引入松弛变量s1和s2，使得约束条件变为等式，得到如下的等价问题：
max 3x1 + 4x2
s.t. 2x1 + x2 + s1 = 6
x1 + 2x2 + s2 = 4
x1, x2, s1, s2 ≥ 0

接下来，我们构建对偶问题。对偶问题的目标是最小化原问题的约束条件的线性组合。
min 6y1 + 4y2
s.t. 2y1 + y2 ≥ 3
y1 + 2y2 ≥ 4
y1, y2 ≥ 0

然后，我们构建对偶单纯形表。表格的第一行为目标函数的系数（即原问题的约束条件的系数），第一列为变量名称，然后填入相应的约束条件的系数。

| 6 4 0 0 |
|__________|
| -2 -1 1 0 |
| -1 -2 0 1 |

接下来，我们按照对偶单纯形法的步骤进行计算。首先，选择需要进基的变量，即目标函数系数最小的变量。在这个例题中，进基变量为y1。然后，选择需要出基的变量，即对应于进基变量列中比率最小的变量。在这个例题中，出基变量为s1。

接下来，进行主元消元，即对进基变量所在列进行运算，将列中其他元素变为0。通过计算，可以得到如下的单纯形表：

| 2 4 0 3 |
|__________|
|-2 -1 1 0 |
| 1 -2 0 1 |

重复以上的步骤，直到所有的主元消元都完成，最终得到如下的单纯形表：

| 0.4 3.2 0 7.6 |
|______________|
| 0.6 1.4 1 0.4 |
| 0.8 1.6 0 1.2 |

此时，表格中没有负值，说明已经达到最优解。根据对偶单纯形表，我们可以得到原问题的最优解为max 7.6。

综上所述，对偶单纯形法通过构建对偶问题和对偶单纯形表，通过选择进基和出基变量，进行主元消元的方式，逐步求解出原问题的最优解。