三次b样条曲线的编程实现

三次B样条曲线的编程实现步骤如下：

1. 定义节点向量：从控制点中选取一定数量的点，称为节点，构成节点向量，一般情况下，节点向量的数量等于控制点的数量加上次数再加一。节点向量中的元素必须满足非降序列。

2. 计算基函数：B样条曲线的形状由基函数决定，基函数是通过递归计算的，具体公式如下：


其中，N(i,p)(u)表示第i个基函数，p表示次数，u表示参数，U表示节点向量。

3. 计算曲线：通过基函数和控制点的线性组合计算出曲线上的点，具体公式如下：


其中，P(i)表示第i个控制点，N(i,p)(u)表示第i个基函数，p表示次数，u表示参数，U表示节点向量。

下面是一个简单的 Python 代码实现：

import numpy as np

def basis_function(i, p, u, U):
    if p == 0:
        if U[i] <= u and u < U[i+1]:
            return 1
        else:
            return 0
    else:
        term1 = 0
        if U[i+p] != U[i]:
            term1 = (u - U[i]) / (U[i+p] - U[i]) * basis_function(i, p-1, u, U)
        term2 = 0
        if U[i+p+1] != U[i+1]:
            term2 = (U[i+p+1] - u) / (U[i+p+1] - U[i+1]) * basis_function(i+1, p-1, u, U)
        return term1 + term2

def curve_points(control_points, knots, degree, num_points=50):
    u_min = knots[degree]
    u_max = knots[-degree-1]
    u = np.linspace(u_min, u_max, num_points)
    curve = np.zeros((num_points, 2))
    for i in range(num_points):
        for j in range(len(control_points)):
            basis = basis_function(j, degree, u[i], knots)
            curve[i] += control_points[j] * basis
    return curve

# Example usage:
control_points = np.array([[0, 0], [1, 3], [2, -1], [3, 2], [4, 1]])
knots = np.array([0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4])
degree = 3
curve = curve_points(control_points, knots, degree)
print(curve)

其中，`control_points`表示控制点，`knots`表示节点向量，`degree`表示次数，`num_points`表示曲线上的点数。函数`basis_function`计算基函数，函数`curve_points`计算曲线上的点。