均值向量和协方差阵的假设检验

均值向量和协方差阵的假设检验通常用于多元正态分布的参数估计。对于一个 $p$ 维的多元正态分布，其均值向量为 $\boldsymbol{\mu}=(\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_p)^T$，协方差阵为 $\boldsymbol{\Sigma}$。我们希望检验以下两个假设：

$H_0:\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\mu}_0$，$\boldsymbol{\Sigma}=\boldsymbol{\Sigma}_0$

$H_1:\boldsymbol{\mu}\neq\boldsymbol{\mu}_0$ 或 $\boldsymbol{\Sigma}\neq\boldsymbol{\Sigma}_0$

其中，$\boldsymbol{\mu}_0$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}_0$ 是给定的值。

对于均值向量的假设检验，我们可以使用 Hotelling's T-squared 统计量：

$$T^2=n(\bar{\mathbf{x}}-\boldsymbol{\mu}_0)^T\mathbf{S}^{-1}(\bar{\mathbf{x}}-\boldsymbol{\mu}_0)$$

其中，$\bar{\mathbf{x}}$ 是样本均值向量，$\mathbf{S}$ 是样本协方差阵，$n$ 是样本容量。当 $H_0$ 成立时，$T^2$ 服从自由度为 $p$ 和 $n-p$ 的 F 分布。

对于协方差阵的假设检验，我们可以使用 Box's M 统计量：

$$M=n\ln\frac{|\mathbf{S}|}{|\boldsymbol{\Sigma}_0|}-p(n-1)\ln\frac{\mathrm{tr}(\mathbf{S}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_0)}{p}$$

其中，$|\cdot|$ 表示矩阵的行列式，$\mathrm{tr}(\cdot)$ 表示矩阵的迹。当 $H_0$ 成立时，$M$ 服从自由度为 $\frac{p(p+1)}{2}$ 的 $\chi^2$ 分布。

如果 $T^2$ 或 $M$ 的值超过了相应的临界值，则拒绝 $H_0$，接受 $H_1$。