单个正态总体，均值未知时，方差的假设检验问题例题及算法程序

假设我们观察到一个具有 $n$ 个观测值的样本，我们要检验这个样本是否符合一个已知方差 $\sigma^2$ 的正态分布。假设这个正态总体的均值为 $\mu$，那么我们需要进行如下的假设检验：

$H_0: \mu = \mu_0$

$H_1: \mu \neq \mu_0$

其中，$\mu_0$ 是我们要检验的均值。我们使用样本均值 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值，使用样本方差 $s^2$ 作为 $\sigma^2$ 的估计值。

根据中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$\bar{x}$ 的分布近似于正态分布，且均值为 $\mu$，标准差为 $\sigma/\sqrt{n}$。因此，我们可以构造如下的检验统计量：

$$
Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}
$$

当 $H_0$ 成立时，$Z$ 的分布是标准正态分布。因此，我们可以计算出 $Z$ 的值，并计算出 $Z$ 在标准正态分布中的累积概率 $p$。如果 $p$ 值小于我们预设的显著性水平 $\alpha$，则拒绝 $H_0$，认为样本不符合均值为 $\mu_0$ 的正态分布。

下面是 Python 中的算法实现：

import math
from scipy.stats import norm

def test_mean(sample, mu_0, sigma, alpha):
    """
    进行单个正态总体均值的假设检验
    :param sample: 样本数据，为一个列表
    :param mu_0: 均值的假设值
    :param sigma: 标准差的真实值
    :param alpha: 显著性水平
    :return: 检验结果，为一个布尔值，表示是否拒绝 H0 假设
    """
    n = len(sample)
    x_bar = sum(sample) / n
    z = (x_bar - mu_0) / (sigma / math.sqrt(n))
    p = 2 * (1 - norm.cdf(abs(z)))  # 双侧检验，计算 p 值时需要乘以 2
    return p < alpha

这个函数接受一个样本数据的列表、均值的假设值、标准差的真实值和显著性水平，返回一个布尔值，表示是否拒绝 $H_0$ 假设。如果返回值为 True，则拒绝 $H_0$，认为样本不符合均值为 $\mu_0$ 的正态分布。