2.一个车间内有10台相同的车床，每台车床运行时每小时创造40元的利润，且平均每小时损坏一次。而一位修理工修复一台车床平均需要4小时。以上时间均服从指数分布。设一位修理工每小时工资为60元，试求： （1）该车间应设多少名修理工，使总费用最小？ （2）若要求不能运转的车床的期望数小于4台，则应设多少名修理工？ 若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时，又应设多少名修理工？

首先我们需要建立模型，设车间设修理工 $n$ 人，$X$ 表示车间内不能运转的车床数目，$Y$ 表示车间内所有车床的总利润。

根据题意，我们可以得到以下信息：

- 每台车床每小时创造 $40$ 元的利润，因此每小时车间内的总利润为 $Y=40\times 10=400$ 元。
- 每台车床平均每小时损坏一次，因此每小时需要修理的车床数目服从参数为 $\lambda=10$ 的泊松分布，即 $X\sim P(10)$。
- 一位修理工修复一台车床平均需要 $4$ 小时，因此修理一台车床的时间服从参数为 $\lambda=1/4$ 的指数分布。
- 一位修理工每小时工资为 $60$ 元。

（1）求该车间应设多少名修理工，使总费用最小？

设 $C$ 表示总费用，即人工成本和停工损失的总和。则有：

$$ C = 60n + 400E(T) $$

其中 $E(T)$ 表示一台车床等待修理的期望时间，可以通过 Little 定理计算得到：

$$ E(T) = \frac{E(X)}{\lambda} = \frac{10}{1/4} = 40\text{小时} $$

因此 $C=60n+400\times 40=16000+60n$。我们需要求使 $C$ 最小的 $n$ 值。由于 $X\sim P(10)$，$X$ 的期望为 $E(X)=\lambda=10$。因此 $X$ 的标准差为 $\sqrt{\lambda}=3.16$。根据中心极限定理，当车间设修理工 $n$ 人时，$X$ 的近似分布为 $N(\lambda,\lambda/n)$。因此可以得到：

$$ P(X\leq 3) \approx \Phi\left(\frac{3-10}{\sqrt{10/n}}\right) $$

其中 $\Phi$ 表示标准正态分布的累积分布函数。要求不能运转的车床的期望数小于 $4$ 台，则有：

$$ P(X\leq 3) = \Phi\left(\frac{3-10}{\sqrt{10/n}}\right) < 0.5 $$

解得 $n>15.81$，因此车间应设 $16$ 名修理工。

（2）若要求损坏机器等待修理的时间少于 $4$ 小时，则应设多少名修理工？

设 $W$ 表示一台车床等待修理的时间，$W$ 的期望为：

$$ E(W) = E(T)/X = \frac{10}{X} $$

要求 $E(W)<4$，则有：

$$ \frac{10}{X} < 4 $$

解得 $X>2.5$，因此车间应设 $3$ 名修理工。

注意：以上计算都是基于模型的假设和近似，实际情况可能存在误差。